一元二次方程有关环保渗透教案3篇一元二次方程有关环保渗透教案 一元二次方程复习课教案 教学目标： 1.知识与技能： （１） 梳理全章知识，理解并掌握一元二次方程的概念及一般形式，熟练掌握方程的解法下面是小编为大家整理的一元二次方程有关环保渗透教案3篇,供大家参考。
篇一：一元二次方程有关环保渗透教案
二次方程复习课教案教学目标：
1. 知识与技能：
（１）
梳理全章知识， 理解并掌握一元二次方程的概念及一般形式， 熟练掌握方程的解法； （2）
理解一元二次方程根的判别式并能运用，会用一元二次方程解决简单的实际问题。
2. 过程与方法：
（1）
经历运用知识、 技能解决问题的过程， 在解题过程中培养学生的独立思考能力和创新精神；
（2）
经历观察、 操作、 想象、 推理、 交流等活动， 发展学生发现问题、提出问题的能力。
3. 情感态度与价值观：
（1）
鼓励学生积极参与数学活动， 在活动中学会思考、 讨论、 交流、 合作，体会数学知识的应用价值， 提高学生学习兴趣；
（2）
在合作交流的过程中, 渗透数学解题中的方程思想、 转化思想、 建模思想。
教学重点：
一元二次方程的解法及应用及掌握知识过程中的分析问题、 解决问题的能力的培养。
教学难点：
从实际问题中找等量关系， 列出一元二次方程。
课前准备：
学生完成课前预习作业， 梳理全章知识结构； 教师准备教案及课件。
教学过程：
第一环节：
复习引入， 直击问题 活动内容：
学生分组交流本章知识系统图， 教师巡视指导， 待学生充分交流后， 教师展示 Ｐ Ｐ Ｔ上做好的“知识系统图” ， 及时评价与鼓励， 从而进入本课学习。
问题 1：
一元二次方程的最根本特征是什么？ 你认为识别它的关键点又是什么？
此问题的提出让学生的思维从浅层的“感知” 走进深层的“凝思” ， 思维度增高了。
问题 2：
前面我们系统学习了一元二次方程的几种解法？ 分别是哪几种？
学生根据前置的讨论易于回答， 在此基础上， 教师进一步提出下面问题。
问题 3：
这几种方法中， 你认为哪一种是最基础的方法？ 你能说出这几种解法之间的逻辑关系吗？
提出此问题的目的是让学生不仅知道表层上的“是什么？ ” 还要让学生知道深层面上的“为什么？ ” ， 从而着力发展学生的思维能力。
问题 4：
你最喜欢运用上述四种方法中的哪一种去解方程？
教师提出这样的问题表面看来“似乎简单” ， 其实质通过这个问题可引发学生两个思考：
其一， 适合于自己的最熟练的学得最好的； 其二， 适合于方程本身结构特点的。
第二环节：
亲历体验， 感知磨练 活动内容：
1、 慧眼巧识， 自主探究：
（１）
下列方程中是一元二次方程的是（
）
Ａ ．ｘ ＋ １＝ ０
Ｂ ．=1
Ｃ ．ａ２+b=0
Ｄ ．ｘ２＋ ２ｘ － ３＝ ０
（２）
已知方程（ａ２－ １）
ｘａ ＋ １＋ ｘ － ２＝ ０是一元二次方程， 则 ａ满足（
）
Ａ ．ａ ＝ １
Ｂ ．ａ ＝ － １
Ｃ ．ａ ＝ １
Ｄ ．ａ为任意实数 老师提出问题 1：
你能说出其它三个为什么不是吗？ 教师用课件展示自主学习（１）
、 （２）
学生独立思考后给出答案， 要求学生回答出“是” 与“不是” 的道理。
教师提出问题 ２：
大家能归纳出一元二次方程的三个必要条件吗？
（教师准备好 Ｐ Ｐ Ｔ以待展示：
①整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为 ２．同时， 教师还要强调“ａ ≠0” 隐含条件。
）
2、 单刀直入， 熟练技能：
用适当的方法解下列方程：
（１）
（ｘ ＋ ２）２ － ３６＝ ０
（ ２）ｘ － １）２＝ ３（ ｘ － １）
（３）
ｘ２－ ５ｘ ＋ ６＝ ０
（４ ）
２ｘ２＋ ｘ － ５＝ ０
在求解之前， 教师给出 3 个问题：
问题 1：
这四个方程的结构特征分别是什么？
问题 2：
找出它们各自最适合的解法？
问题 3：
你能给出第（3）
个方程的不同解法吗？
学生独立完成 ４个方程的解法， 同时教师有针对性的选取同学到黑板展示，教师巡回指导学生。
在此提出这样的问题， 目的是让学生能发现问题， 从而去分析问题、 解决问题。
第三环节：
矫正补偿， 百炼成钢：
活动内容：
1、 教师给出一组训练题：
１、 方程 ｙ ２＝ ２ｙ的解是（）
Ａ ．ｙ ＝ ２
Ｂ ．ｙ １＝ ０，ｙ ２＝
Ｃ ．ｙ １＝ ２，ｙ ２＝ ０
Ｄ ．ｙ ＝ ０
２、 用配方法解方程 ｘ２－ ６ ｘ ＋ ３＝ ０，正确的配方是：
３、 关于 ｘ的一元二次方程 ｘ２＋ ｋ ｘ － １＝ ０的根的情况是（）
Ａ ．有两个不相等的同号实数根；
Ｂ ．有两个不相等的异号实根；
Ｃ ．有两个不相等的实根；
Ｄ ．没有实根．
４ 、 杉杉衬衣原件 ２６０元， 连续两次降价后售价为 １８０元， 若平均每次降价的百分率为 ｘ ，则列出正确的方程是：
５、 解下列方程：
（１）
ｍ２－ ２ｍ － １＝ ０
（２）
２ｘ２＋ ４ ｘ ＋ １＝ ０
2、 教师追问：
上述各题当中还包含一元二次方程的那些知识要点?你能具体概括一下吗？
（设计目的：
目的是巩固所学知识， 强化基础， 使学生对本章内容有深刻的认识和理解。
）
第四环节：
完善整合， 综合提升：
活动内容：
１、 完善整合：
教师先提问：
说出解一元二次方程当中所包含的数学思想？
教师后展示：
（１）
二元方程——消元转化——一元方程
（２）
二次方程——将次转化——一次方程 （３）
实际问题——建模转化——数学问题 ２、 综合提升：
某商场平均每天售出商品 ３０件， 每件获利 ５０元， 为尽快减少库存， 商场决定采取适当降价措施．经调查发现， 每件商品每降价 １元， 平均每天可多售出 ２件．设每件商品降价 ｘ元， 请回答：
（１）
商场每天销售量增加
件， 每件盈利
元；
在上述条件不变的情况下， 每件商品降价多少元时， 商场每天盈利可达 ２１００元？
（教师指导学生对知识的整合与归纳； 学生快速完成综合提升问题， 教师总结反馈学生掌握情况。
）
第五环节：
总结反思， 情意发展 活动内容：
通过上面四个环节内容的学习， 师生共同总结本节课的学习收获：
问题 1：
本节课你认为重点和难点是什么？
问题 2：
本节内容学习中， 你出错点、 易错点在哪里？
问题 3：
本节课你有还有哪些别样的收获？
第六环节：
布置课后作业：
１、 《同步学习》 ：
Ｐ ３５－ ３６； ２、 教材：
Ｐ ５３－ ５４第 ２、 ５、 １０题．
篇二：一元二次方程有关环保渗透教案
二次方程高隔幂沙一、 素质教育目标 高隔幂沙 （一）
知识教学点：
1． 使学生了解一元二次方程及整式方程的意义； 2． 掌握一元二次方程的一般形式， 正确识别二次项系数、 一次项系数及常数项．高隔幂沙 （二）
能力训练点：
1． 通过一元二次方程的引入， 培养学生分析问题和解决问题的能力； 2． 通过一元二次方程概念的学习， 培养学生对概念理解的完整性和深刻性．高隔幂沙 （三）
德育渗透点：
由知识来源于实际， 树立转化的思想， 由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法， 由此培养学生用数学的意识．高隔幂沙 二、 教学重点、 难点和疑点高隔幂沙 1． 教学重点：
一元二次方程的意义及一般形式．高隔幂沙 2． 教学难点：
正确识别一般式中的“项” 及“系数” ．高隔幂沙 3． 教学疑点：
“一元二次方程的定义” 应是进行合并同类项之后而言．高隔幂沙 三、 教学步骤 高隔幂沙 （一）
明确目标 高隔幂沙 1． 用电脑演示下面的操作：
一块长方形的薄钢片， 在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形， 然后把四边折起来， 就成为一个无盖的长方体盒子， 演示完毕， 让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀， 实际操作一下刚才演示的过程． 学生的实际操作， 为解决下面的问题奠定基础， 同时培养学生手、 脑、 眼并用的能力．高隔幂沙 2． 现有一块长 80cm， 宽 60cm 的薄钢片， 在每个角上截去四个相同的小正方形， 然后做成底面积为 1500cm的小正方形的边长？2的无盖的长方体盒子， 那么应该怎样求出截去高隔幂沙 教师启发学生设未知数、 列方程， 经整理得到方程 x会解， 说明所学知识不够用， 需要学习新的知识， 学了本章的知识， 就可以解这个方程， 从而解决上述问题．2-70x+825=0， 此方程不高隔幂沙 板书：
“第十二章一元二次方程” ． 教师恰当的语言， 激发学生的求知欲和学习兴趣．高隔幂沙 （二）
整体感知高隔幂沙
通过章前引例和节前引例， 使学生真正认识到知识来源于实际， 并且又为实际服务， 学习了一元二次方程的知识， 可以解决许多实际问题， 真正体会学习数学的意义； 产生用数学的意识， 调动学生积极主动参与数学活动中． 同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．高隔幂沙 （三）
重点、 难点的学习及目标完成过程 高隔幂沙 1． 复习提问高隔幂沙 （1）
什么叫做方程？ 曾学过哪些方程？高隔幂沙 （2）
什么叫做一元一次方程？ “元” 和“次” 的含义？高隔幂沙 （3）
什么叫做分式方程？高隔幂沙 问题的提出及解决， 为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫．高隔幂沙 2． 引例：
剪一块面积为 150cm片应怎样剪？2的长方形铁片使它的长比宽多 5cm， 这块铁高隔幂沙 引导， 启发学生设未知数列方程， 并整理得方程 x前引例所得到的方程 x次方程的概念．2+5x-150=0， 此方程和章2＋70x＋825＝0 加以观察、 比较， 得到整式方程和一元二高隔幂沙 整式方程：
方程的两边都是关于未知数的整式， 这样的方程称为整式方程．高隔幂沙 高隔幂沙 称为关于未知数的整式． 这里 a、 b、 c 表示已知数．高隔幂沙 一元二次方程：
只含有一个未知数， 且未知数的最高次数是 2， 这样的整式方程叫做一元二次方程．高隔幂沙 一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定义的． 一元二次方程中的“一元”指的是 “只含有一个未知数”，“二次”指的是 “未知数的最高次数是 2”．“元”和“次” 的概念搞清楚则给定义一元三次方程等打下基础． 一元二次方程的定义是指方程进行合并同类项整理后而言的． 这实际上是给出要判定方程是一元二次方程的步骤：
首先要进行合并同类项整理， 再按定义进行判断．高隔幂沙 3． 练习：
指出下列方程， 哪些是一元二次方程？高隔幂沙 （1）
x（5x-2）
＝x（x＋1）
＋4x2；高隔幂沙 （2）
7x2＋6＝2x（3x＋1）
；高隔幂沙
高隔幂沙 （4）
6x2＝x；高隔幂沙 （5）
2x2＝5y；高隔幂沙 （6）
-x2＝0高隔幂沙 4． 任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式， 这个形式就是一元二次方程的一般形式．高隔幂沙 一元二次方程的一般形式：
ax次项， c 称常数项， a 称二次项系数， b 称一次项系数．2＋bx＋c＝0（a≠0）
． ax2称二次项， bx 称一高隔幂沙 一般式中的“a≠0” 为什么？ 如果 a＝0， 则 ax程， 由此加深对一元二次方程的概念的理解．2+bx+c＝0 就不是一元二次方高隔幂沙 5． 例 1
把方程 3x（x-1）
＝2（x＋1）
＋8 化成一般形式， 并写出二次项系数， 一次项系数及常数项？高隔幂沙 教师边提问边引导， 板书并规范步骤， 深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．高隔幂沙 6． 练习 1：
教材 P． 5 中 1， 2． 要求多数学生在练习本上笔答， 部分学生板书， 师生评价． 题目答案不唯一， 最好二次项系数化为正数．高隔幂沙 练习 2：
下列关于 x 的方程是否是一元二次方程？ 为什么？ 若是一元二次方程， 请分别指出其二次项系数、 一次项系数、 常数项．高隔幂沙 高隔幂沙 8mx-2m-1＝0； （4）
（b2＋1）
x2-bx＋b＝2； （5）
2tx（x-5）
＝7-4tx．高隔幂沙 教师提问及恰当的引导， 对学生回答给出评价， 通过此组练习， 加强对概念的理解和深化．高隔幂沙 （四）
总结、 扩展 高隔幂沙 引导学生从下面三方面进行小结． 从方法上学到了什么方法？ 从知识内容上学到了什么内容？ 分清楚概念的区别和联系？高隔幂沙 1． 将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题， 体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法．高隔幂沙
2． 整式方程概念、 一元二次方程的概念以及它的一般形式， 二次项系数、一次项系数及常数项． 归纳所学过的整式方程．高隔幂沙 3． 一元二次方程的意义与一般形式 ax调“a≠0” 这个条件有长远的重要意义．2＋bx＋c＝0 （a≠0）
的区别和联系． 强高隔幂沙 四、 布置作业 高隔幂沙 1． 教材 P． 6
A 组 2（必做）
．高隔幂沙 2． 教材 P． 6
B 组 1、 2（学有余力的学生做）
．高隔幂沙 3． 思考题：高隔幂沙 1）
能不能说“关于 x 的整式方程中， 含有 x2项的方程叫做一元二次方程？ ”高隔幂沙 2）
试说出一元三次方程， 一元四次方程的定义及一般形式（学有余力的学生思考）
．高隔幂沙 五、 板书设计 高隔幂沙 第十二章
一元二次方程 高隔幂沙 12． 1 一元二次方程 高隔幂沙 4． 例 1：
………… 5． 练习：
…………1． 整式方程：
……2． 一元二次方程……：3． 一元二次方程的一般形式：…………高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 六、 作业参考答案 高隔幂沙 教材 P． 6
A2．高隔幂沙 高隔幂沙 教材 P． 6B1、 2．高隔幂沙
1． （1）
二次项系数：
ab
一次项系数：
c
常数项：
d．高隔幂沙 （2）
二次项系数：
m-n
一次项系数：
0
常数项：
m＋n．高隔幂沙 2． 一般形式：
（m＋n）
xn， 一次项系数：
m－n， 常数项：
p－q．2+（m-n）
x＋p-q＝0（m＋n≠0）
二次项系数：
m＋高隔幂沙 思考题 高隔幂沙 （1）
不能． 如 x3＋2x2－4x＝5．高隔幂沙 （2）
一元三次方程：
只含有一个未知数， 且未知数的最高次数是 3， 这样的整式方程叫做一元三次方程． 一般形式：
ax3＋bx2＋cx＋d＝0（a≠0）
．高隔幂沙 一元四次方程：
只含有一个未知数， 且未知数的最高次数是 4， 这样的整式方程叫做一元四次方程． 一般形式：
ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0（a≠0）
．高隔幂沙 高隔幂沙 怎样判断一元二次方程 高隔幂沙
什么是一元二次方程？ 是不是看到一个未知数有一项的次数是二次的方程就是一元二次方程呢？ 请看以下几个方程：高隔幂沙
①(m-2) x2+mx-1=0；高隔幂沙
②(2x-1) (3x+1) =6x2+5；高隔幂沙
高隔幂沙
高隔幂沙
对于这几个方程， 如果认为都是一元二次方程， 那就错了． 判别一个方程是不是一元二次方程要注意两点：高隔幂沙
(1) 经过整理化简后， 符合 ax上看含有 x所以这个方程不能判定必为一元二次方程． 方程②经过化简后， 成为不含未知数的二次项， 当然不是一元二次方程了．2+bx+c=0(a≠0) 的形式． 方程①从表面2的项， 但是二次项的系数是 m-2， 由于不能判断 m-2 是否为零，高隔幂沙
(2) 一元二次方程首先必须是一个整式方程， 显然方程③与方程④不符合这个条件．高隔幂沙
熟练判别一元二次方程对于学习解一元二次方程及研究有关一元二次方程的其他问题很有好处．高隔幂沙
高隔幂沙
题的错误往往是由于对方程的类型判断错误所致．“一把钥匙开一把锁”，其实这高隔幂沙 解略．高隔幂沙
例 2 a 取何值时， 方程 ax2-(2a+1) x+(a-1) =0：高隔幂沙
(1) 有两个实数根； (2) 有实数根．高隔幂沙 高隔幂沙
注意：
这里 a≠0 很容易被遗忘， 如果不加这个条件， 当 a=0 时原方程变为 x+1=0， 是个一元一次方程， 不可能有两个实数根．高隔幂沙
(2) 这题与上一问比较， 少了两个字“两个” ， 不言而喻， 解这题时有两种情况：高隔幂沙
高隔幂沙 高隔幂沙 一元二次方程的解法 高隔幂沙 一、 素质教育目标 高隔幂沙 （一）
知识教学点：
认识形如 x2＝a（a≥0）
或（ax+b）2＝c（a≠0， c≥0， a， b， c 为常数）类型的方程， 并会用直接开平方法解．高隔幂沙
（二）
能力训练点：
培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力．（三）
德育渗透点：
通过两边同时开平方， 将 2 次方程转化为一次方程， 向学生渗透数学新高隔幂沙 知识的学习往往由未知（新知识）
向已知（旧知识）
转化， 这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．高隔幂沙 二、 教学重点、 难点和疑点1． 教学重点：
用直接开平方法解一元二次方程．2． 教学难点：
认清具有（ax＋b）高隔幂沙 高隔幂沙 2＝c（a≠0， c≥0， a， b， c 为常数）
这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．3． 教学疑点：
一元二次方程可能有两个不相等的实数解， 也可能有两个相等的实数解， 也可能无实数解． 如：（ax＋b）c＝0 时， 有两个相等的实数解， c＜0 时无实数解．三、 教学步骤 高隔幂沙 （一）
明确目标 高隔幂沙 在初二代数“数的开方” 这一章中， 学习了平方根和开平方运算．“如果 x2=a（a≠0）， 那么x 就叫做 a 的平方根． ”“求一个数平方根的运算叫做开平方运算”． 正确理解这个概念， 在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程 x2＝a 的解法， 在此基础上， 就可以解符合形如（ax＋b）高隔幂沙 2=c（a≠0， a， b， c 常数）， 当 c＞0 时， 有两个不等的实数解，高隔幂沙 2=c（a， b， c 常数， a≠0， c≥0）
结构特点的一元二次方程， 从而达到本节课的目的．（二）
整体感知 高隔幂沙 高隔幂沙 通过本节课的学习， 使学生充分认识到：
数学的新知识是建立在旧知识的基础上， 化未知为已知是研究数学问题的一种方法， 本节课引进的直接开平方法是建立在初二代数中平方根及开平方运算的基础上， 可以说平方根的概念对初二代数和初三代数起到了 承上启下的作用． 而直接开平方法又为一元二次方程的其他解法打下坚实的基础， 此法可以说起到一个抛砖引玉的作用． 学生通过本节课的学习应深刻领会数学以旧引新的思维方法， 在已学知识的基础上开发学生的创新意识．（三）
重点、 难点的学习及目标完成过程 高隔幂沙 1． 复习提问（1）
什么叫整式方程？ 举两例， 一元一次方程及一元二次方程的异同？（2）
平方根的概念及开平方运算？2． 引例：
解方程 x2-4=0．解：
移项， 得 x2＝4．两边开平方， 得 x＝±2．∴
x1＝2， x2＝-2．分析
x2＝4， 一个数 x 的平方等于 4， 这个数 x 叫做 4 的平方根（或二次方根）； 据平方根的性质， 一个正数有两个平方根， 它们互为相反数； 所以这个数 x 为±2． 求一个数平方根高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 的运算叫做开平方． 由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 使学生体会到直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算．练习：
教材 P． 8 中 1（1）（2）（3）（6）． 学生在练习、 板演过程中充分体会直接开平方法高隔幂沙 的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念．3． 例 1
解方程 9x2-16＝0．解：
移项， 得：
9x2=16，高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙
高隔幂沙 此例题是在引例的基础上将二次项系数由 1 变为 9， 由此增加将二次项系数变为 1 的步骤． 此题解法教师板书， 学生回答， 再次强化解题 高隔幂沙 高隔幂沙 负根．练习：
教材 P． 8 中 1（4）（5）（7）（8）．例 2
解方程（x＋3）分析：
把 x＋3 看成一个整体 y．高隔幂沙 高隔幂沙 2＝2．高隔幂沙 高隔 幂沙 高隔幂沙 例 2 把引例中的 x 变为 x+3， 反之就应把例 2 中的 x+3 看成一个整体，高隔幂沙 两边同时开平方， 将二次方程转化为两个一次方程， 便求得方程的两个解． 可以说：
利用平方根的概念， 通过两边开平方， 达到降次的目的， 化未知为已知， 体现一种转化的思想．练习：
教材 P． 8 中 2， 此组练习更重要的是体会方程的左边不是未知数的平方， 而是含有高隔幂沙 未知数的代数式的平方， 而右边是个非负实数， 采用直接开平方法便可以求解．例 3
解方程（2-x）高隔幂沙 2-81＝0．高隔幂沙 解法（一）移项， 得：
（2-x）两边开平方， 得：
2-x=±9∴
2-x＝9 或 2-x＝-9．∴
x1=-7， x2＝11．高隔幂沙 2＝81．高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 解法（二）∴
（2-x）∴
原方程可变形， 得（x-2）两边开平方， 得 x-2＝±9．∴
x-2＝9 或 x-2＝-9．∴
x1＝11， x2＝-7．高隔幂沙 2＝（x-2）2，高隔幂沙 2=81．高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 高隔幂沙 比较两种方法， 方法（二）
较简单， 不易出错． 在解方程的过程中， 要注意方程的结构特点，进行灵活适当的变换， 择其简捷的方法， 达到又快又准地求出方程解的目的．高隔幂沙 练习：
解下列方程：（1）（1-x）高隔幂沙 2-18＝0； （2）（2-x）2＝4；高隔幂沙 高隔幂沙 在实数范围内解一元二次方程， 要求出满足这个方程的所有实数根， 提醒学生注意不要丢掉负根， 例 x2＋36＝0， 由于适合这个方程的实数 x 不存在， 因为负数没有平方根， 所以原方程无实数根． -x2＝0， 适合这个方程的根有两个， 都是零． 由此渗透方程根的存在情况． 以
上在教师恰当语言的引导下， 由学生得出结论， 培养学生善于思考的习惯和探索问题的精神．高隔幂沙 那么具有怎样结构特点的一元二次方程用直接开平方法来解比较简单呢？ 启发引导学生， 抽象概括出方程的结构：
（ax＋b）2＝c（a， b， c 为常数， a...
篇三：一元二次方程有关环保渗透教案
元二次方程》教案教学设计说明：
本课通过以学生自主探究为出发点，以教师的诱导参与点拨为依托，通过丰富的实例及问题，让学生合作探讨，建立数学模型。通过观察类比得出一元二次方程的相关概念及根的意义，学生积极动手、动脑、动口为主线来完成。在教学中渗透类比化归等数学思想，让学生充分观察、体验，同时营造轻松愉快的学习氛围，以此激发学生的学习兴趣。
（1）教材分析 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程。从数学课堂的远期目标来看，还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
（2）学情分析 学生的知识技能基础：学生在七年级已学过一元一次方程的概念，经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程；学生已理解了“元”和“次”的含义，具备了学习一元二次方程的基本技能。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验和数学思考，具备了一定的合作与交流的能力。
教学目标 1. .根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。
2. .探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。
3.了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题。
4.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
教学重点、难点 重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题。
难点：根的作用的理解。
关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程、整式的概念迁移到一元二次方程的概念。
课时设计 两课时 教学策略 本节课主要通过创设问题情境，引导学生观察迁移、采用发现法、探究法、练习法为辅的教学方法。
教学过程 一、 情境 激趣与引入 学生活动：列方程。
问题 1《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，
问户高、广各几何？” 大意是说：已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少？ 如果假设门的高为 x 尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得________． 整理、化简，得：__________． 问题 2 有一面积为 54m 2 的长方形，将它的一边剪短 5m，另一边剪短 2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为 x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______。
整理，得：________。
题 问题 3 如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积是 3 600 cm 2 ，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
设切去的正方形的边长为 x cm，则盒底的长为
cm，宽 为
cm，根据题意得
， 整理得
. 答案：
题 问题 1
x-6.8
(x-6.8) 2
+ x 2 =10 2
x
2 -6.3x-26.88=0 题 问题 2
x+5
x+2
(x+5)(x+2)=54
x
2 +7x-44=0 题 问题 3
100- 2x
50- 2x
(100- 2x)( 50- 2x)=3600
x
2 -75x+350=0 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理。
【设计意图】
由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，体会数学来源于生活，又应用于生活，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型。
二、 探索新知 探究 活动 一：请口答下面问题。
（1）上面几个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 老师点评：（1）都只含一个未知数 x；（2）它们的最高次数都是 2 次的；（3）•都有等号，是方程。
归纳：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ax 2 +bx+c=0（a≠0）。这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
一个一元二次方程经过整理化成 ax 2 +bx+c=0（a≠0）后，其中 ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
【设计意图】
通过上述情景分析，让学生小组合作，列出方程。在学生列出方程后，对所列方程进行整理，并引导学生分析所列方程的特征得出一元二次方程的概念。由于一元二次方程的概念
是本节的重点，所以在形成概念的过程中主要引导学生积极主动进行自我尝试、自我分析、自我修正、自我反思，让学生真正理解一元二次方程概念的内涵：（1）是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是 2。
创设学生熟悉的生活情境，由学生自主探索一元二次方程的定义及其相关概念。同时体现出一种“问题情景---数学模型-----概念归纳”的模式，有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透方程思想。
例 1：判断下列方程是不是一元二次方程：
①3x 2 －13y=0；
②253 x =1；
③2xy－7=0；
④3x=x 2 +4； ⑤232x +5＝3x；
⑥（a－1）x 2 －13x=6 解析
根据由一元二次方程定义可得：①③含有两个未知数，②不是整式方程，故①②③都不是一元二次方程，④可化为 x 2 －3x+4=0，⑤可化为 3x 2 －2x+21=0，故④⑤是一元二次方程，⑥当 a≠1 时是一元二次方程。答案：④ ⑤ ：
点评：一元二次方程必须具备三个条件：①方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③含有未知数的项的最高次数是 2。
例 例 2． 将方程（x+1）
2 +（x-2）（x+2）=1 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项。
分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）
2 +（x-2）（x+2）=1 化成 ax 2 +bx+c=0（a≠0）的形式。
解：去括号，得：x 2 +2x+1+x 2 -4=1 移项，合并得：2x 2 +2x-4=0 其中：二次项 2x 2 ，二次项系数 2；一次项 2x，一次项系数 2；常数项-4。
学生活动：
学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数． 教师活动：
在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号）。
【设计意图】
进一步巩固一元二次方程的基本概念。
探究活动二 请同学独立完成下列问题。
问题 1．如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 108 设梯子底端距墙为 xm，那么， 根据题意，可得方程为___________． 整理，得_________。
列表：
问题 2．一个面积为 120m 2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2m，苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为 xm，则长为_______m． 根据题意，得________． 整理，得________． 列表：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
提问：
（1）问题 1 中一元二次方程的解是多少？问题 2 中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题 1 中还有其它解吗？问题 2 呢？ 答案：（1）问题 1 中 x=6 是 x 2 -36=0 的解，问题 2 中，x=10 是 x 2 +2x-120=0 的解。
（2）如果抛开实际问题，问题（1）中还有 x=-6 的解；问题 2 中还有 x=-12 的解。
为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：
一元二次方程的解叫做一元二次方程的根。
回过头来看：x 2 -36=0 有两个根，一个是 6，另一个是－6，但-6 不满足题意；同理，问题 2 中的 x=-12的根也满足题意。因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解。
教师活动：
教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：
使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根），会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题。
【设计意图】
探究一元二次方程根的概念以及作用。
三、应用拓展 1． 下面哪些数是方程 2x 2 +10x+12=0 的根？
- 4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可。
解：将上面的这些数代入后，只有-2 和-3 满足方程的等式，所以 x=-2 或 x=-3 是一元二次方程 2x 2 +10x+12=0 的两根。
2．你 能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x 2 -64=0
（2）3x 2 -6=0
（3）x 2 -3x=0 分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义． 解：（1）移项得 x 2 =64 根据平方根的意义，得：x=±8， 即 x 1 =8，x 2 =-8 （2）移项、整理，得 x 2 =2 根据平方根的意义，得 x=± 2 ，即 x 1 = 2 ，x 2 =- 2
（3）因为 x 2 -3x=x（x-3）
所以 x 2 -3x=0，就是 x（x-3）=0 所以 x=0 或 x-3=0，即 x 1 =0，x 2 =3 3 ．要剪一块面积为 150cm 2 的长方形铁片，使它的长比宽多 5cm，这块铁片应该怎样剪？
设长为 xcm， 则宽为 （x-5）cm, 列方程 x（x-5）=150 ，即 x 2 -5x-150=0
请根据列方程回答以下问题：
（1）
x 可能小于 5 吗？可能等于 10 吗？说说你的理由． （2）完成下表：
（3）你知道铁片的长 x 是多少吗？
分析：x 2 -5x-150=0 与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，•但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根。
解：（1）x 不可能小于 5。理由：如果 x<5，则宽（x-5）<0，不合题意。
x 不可能等于 10。理由：如果 x=10，则面积 x 2 -5x-150=-100，也不可能。
（2）
（3）铁片长 x=15cm 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
检查学生对基础知识的掌握情况，对一元二次方程的根有更深刻的理解。
四
、 课堂总结
本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？ （1）一元二次方程的概念； （2）一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用； （3）一元二次方程根的概念以及作用 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程。
学生独立完成作业，教师批改、总结。
【设计意图】通过归纳总结，使学生优化概念，内化知识。
五 、 课后作业 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（
）
①3x 2 +7=0
②ax 2 +bx+c=0
③（x-2）（x+5）=x 2 -1
④3x 2 -5x=0 A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个 2．方程 2x 2 =3（x-6 ）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，3，-6
B．2，-3，18
C．2，-3，6
D．2，3，6 3．px 2 -3x+p 2 -q=0 是关于 x 的一元二次方程，则（
）
A．p=1
B．p>0
C．p≠0
D．p 为任意实数 4．如果 x 2 -81=0，那么 x 2 -81=0 的两个根分别是 x 1 =________，x 2 =__________ 5．已知方程 5x 2 +mx-6=0 的一个根是 x=3，则 m 的值为________ 6．关于 x 的方程（2m 2 +m）x m+1 +3x=6 可能是一元二次方程吗？为什么？ 7．如果关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1 必是该方程的一个根
8．一块矩形铁片，面积为 1m 2 ，长比宽多 3m，求铁片的长，小明在做这道题时，•是这样做的：
设铁片的长为 x，列出的方程为 x（x-3）=1，整理得：x 2 -3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长x 10 11 12 13 14 15 16 17 „ x 2 -5x-150
x 10 11 12 13 14 15 16 17 „„ x 2 -5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 „„
到底是多少，下面是他的探索过程：
第一步：
x 1 2 3 4 x 2 -3x-1 -3 -3
所以，________<x<__________
第二步：
x 3.1 3.2 3.3 3.4 x 2 -3x-1 -0.96 -0.36
所以，________<x<__________ （1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分； （2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．
参考答案 1.A
2.B
3.C
4．9，-9
5．-13
6．可能，因为当21 22 0mm m ，
∴当 m=1 时，该方程是一元二次方程． 7．a+c=b，a-b+c=0，把 x=-1 代入得 ax 2 +bx+c=a×（-1）
2 +b×（-1）+c=a-b+c=0， ∴-1 必是该方程的一根． 8．（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4
（2）3，3
六 、 板书设计
七 、 教学反思 以学生熟悉的生活情境问题为主线，激发学生的灵感；体现“自主-----合作-----探究”的学习方式，本节课知识的呈现作了重大调整，不是以讲解为主方式也不是以单一的知识为线条，而是在突出数学知识的同时，将数学知识和结论溶于数学活动之中，在这样的探究学习过程中，学生得到的数学知识是通过自己观察、讨论、归纳得到的。比如讲一元二次方程的一般形式时不是我们硬塞给学生的，而是从巩固概念环节的几个方程中的最后一元二次方程作为衔接入口，要求使方程的左边按未知数的次数从高到低排列，且右边为零的形式，这样的连接比较自然。在这个整理活动之中学生亲自体验、观察、归纳，讨论出一元二次方程的一般形式 ax2 +bx+c=0。
本节课还有许多不足之处和困惑：
1.引出一元二次方程的一般形式时，说是为了方程的整洁美，我感觉不妥，应该怎么解释，还需要同行与专家的指点。
2.一元二次方程的一般形式中的 a 为什么不能等于 0，我觉得教学中缺少学生的自我领悟，也就是缺少一个合理的学生活动的过程。
3.小结时比较死板，没起到画龙点睛的作用。
...
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