【摘要】研究了有优先权的3个不同型部件和1个修理设备组成的混贮备可修系统，利用普通可靠性和模糊可靠性的基础理论，在转换开关完全可靠的情形下建立了系统模糊可靠性模型，利用模糊数学的原理和方法、马尔可夫型可修系统的研究方法和Maple11.0软件，得到了该系统的一些模糊可靠性指标，并给出算例。
【关键词】优先权；混贮备系统；可修系统；模糊可靠性
Fuzzy Reliability Analysis of Mixed-storage Maintainable System with Priority
Yao Yao Qian Cunhua Liu min
（School of Economics and Management，Nanjing University of Technology，Nanjing 211816，China）
Abstract:This paper present a reliability analysis was made of the three-component Mixed-storage Maintainable System with priority and a repair equipment.Using the theory of classical reliability and fuzzy reliability，in the condition of absolutely reliable switch，we set a fuzzy reliability model about the system. With the help of principles and methods from fuzzy mathematic and the research method which is based on Markov repairable system and Maple11.0 software，some fuzzy reliability indicator are obtained，and give an example.
Key words: Priority；mixed-storage system；maintainable system；fuzzy reliability
引言
传统的可靠性理论是以普通概率论和数理统计为数学基础的。随着可靠性研究的深入，人们的认识已由单纯的随机性进入到随机性与模糊性相互参透的阶段。模糊数学的发展深化了对可靠性工程中的模糊现象的认识。模糊数学和概率论同属于不确定性数学，虽然深刻联系，但又有着本质区别。模糊数学把传统方法中的二值逻辑扩展为可连续取值，这将使可靠性工程更接近于实际。随着系统的复杂化，出现了对于可靠性的传统研究方法（即精确性数学）与系统复杂化的之间的矛盾。具体说，某些大型复杂系统的可靠性用精确数字来衡量已不能满足人们的实际使用和需要。基于此，有必要将通常事件推广到模糊事件，从而将传统的可靠性推广到模糊可靠性。
在实际工程应用中，许多贮备系统中既有温贮备系统又有冷贮备系统，随着系统工程日趋复杂，混贮备系统越来越多的运用于工程中。目前人们对并串联系统以及独立冷、温贮备系统可靠性的研究比较多，也有不少成果。在文献[1-2]中，讨论了2部件组成的冷、温贮备系统的可靠性。在文献[3-4]中，分别讨论了有优先权的冷贮备和温贮备可修系统的可靠性。文献[5]应用模糊数学的原理及方法研究冷贮备系统.并得到一套模糊可靠性公式。目前，对混贮备系统模糊可靠性的分析研究还比较少，在此，我们对由有优先使用权和优先维修权的3个不同型部件组成的混贮备可修系统，在转换开关完全可靠的情形下建立了系统模糊可靠性模型，当部件的工作寿命、贮备寿命、维修时间服从不同参数的指数分布时，推导出了该系统的一些模糊可靠性指标。希望对工程中出现的类似于有优先权的3部件混贮备可修系统具有一定的鉴戒意义。
1.模糊条件概率[6]
用A表示普通可靠性定义中“产品在规定的使用条件，预期的使用时间内，保持其规定功能”这一清晰事件，用分别表示各个模糊功能子集所代表的模糊事件，表示“第j个部件正常工作”，表示我们所要讨论的那个模糊功能子集。
由模糊条件概率的定义，得：
（1）
由普通可靠性和模糊可靠性基本理论
（2）
（3）
将 （2）（3）代入 （1）中得
（4）
（5）
其中分别表示系统的模糊可靠度和第j个部件的模糊可靠度。
2.基本假设
假定1：系统由3个不同型部件、1个完全可靠的转换开关和1个修理设备组成。由于冷贮备部件进入工作状态前需要提前准备，为维持系统不间断正常工作，系统中必须保证有一个部件温贮备。系统工作时，部件1工作，部件2做温贮备，部件3做冷贮备，部件1比部件2有优先权（即有优先使用权和优先维修权），部件2比部件3有优先权。当部件1发生故障时，部件2立即从温贮备状态进入工作状态，部件3由冷贮备状态转为温贮备状态，修理设备立即来修理部件1；当故障部件1被修理好时，立即进入工作状态，部件2则暂停工作进入温贮备状态，部件3由温贮备状态转为冷贮备状态；当部件1发生故障时，若部件2正在修理，则部件2暂停修理进入待修状态，修理设备立即修理部件1；当部件2发生贮备故障时，部件3立即从冷贮备状态转为温贮备状态；当部件2发生工作故障时，部件3立即从温贮备状态进入工作状态，部件2则进入待修状态。部件间的转换是通过完全可靠的转换开关在瞬间转换完成的。
假定2：部件2在温贮备期间可能会发生故障，部件3在冷贮备期间不会发生故障，但在冷贮备转为温贮备后可能发生故障，在同一瞬间两个部件都发生故障的概率可以忽略不计，且故障部件可修复如新。
假定3：设第个部件的工作时间和维修时间分别服从和；部件2温贮备时间和维修时间分别服从和，，部件3温贮备期间贮备时间和维修时间分别服从和，，且所有参数都为正。
假定4：在时，三个部件均为新的，部件1开始工作。
3.状态分析
令为该系统在t时刻所处的状态，则系统的可能状态为：
0——t时刻，部件1工作，部件2温贮备，部件3冷贮备，系统正常工作；
1——t时刻，部件1工作，部件2因贮备故障在修理，部件3温贮备，系统正常工作；
2——t时刻，部件1工作，部件2因工作故障在修理，部件3温贮备，系统正常工作；
3——t时刻，部件1工作，部件2因工作故障在修理，部件3因工作故障待修，系统正常工作；
4——t时刻，部件1工作，部件2温贮备，部件3因工作故障在修理，系统正常工作；
5——t时刻，部件1工作，部件2因贮备故障在修理，部件3因工作故障待修，系统正常工作；
6——t时刻，部件2工作，部件1因工作故障在修理，部件3因工作故障待修，系统正常工作；
7——t时刻，部件2工作，部件1因工作故障在修理，部件3由冷贮备转为温贮备，系统正常工作；
8——t时刻，部件3工作，部件1因工作故障在修理，部件2因贮备故障待修，系统正常工作；
9——t时刻，部件3工作，部件1因工作故障在修理，部件2因工作故障待修，系统正常工作；
10——t时刻，部件1工作，部件2因贮备故障在修理，部件3因贮备故障待修，系统正常工作；
11——t时刻，部件2工作，部件1因工作故障在修理，部件3因贮备故障待修，系统正常工作；
12——t时刻，部件1工作，部件2温贮备，部件3因贮备故障在修理，系统正常工作；
13——t时刻，部件1工作，部件2因工作故障在修理，部件3因贮备故障待修，系统正常工作；
14——t时刻，部件1因工作故障在修理，部件2因贮备故障待修，部件3因工作故障待修，系统失效；
15——t时刻，部件1因工作故障在修理，部件2因工作故障待修，部件3因工作故障待修，系统失效；
16——t时刻，部件1因工作故障在修理，部件2因工作故障待修，部件3因贮备故障待修，系统失效；
17——t时刻，部件1因工作故障在修理，部件2因贮备故障待修，部件3因贮备故障待修，系统失效；
由于各个随机变量均是服从指数分布的，根据指数分布的无记忆性，部件2、3从温贮备和冷贮备状态进入工作时，其工作寿命分布总是，，，与之前是否工作过或曾经工作多长时间无关；同样，部件2从待修状态进入修理状态时，其修理时间分布总是或，，部件3从待修状态进入修理状态时，其修理时间分布总是或，与之前是否修理过或曾经修理过多长时间无关。
易知，构成了一个连续时间的有限齐次Markov链，其状态空间为：
可得出在时间内各状态之间的转移概率矩阵
（6）
设，其中，则通过（6）式可得：
4.系统的模糊可靠度与首次模糊故障前平均时间
令原系统所有的故障状态为吸收状态，则可以构成一个新的Markov过程，其对应的转移率矩阵中C=D=0。令，表示时刻t系统处于状态的概率，并且满足初始条件，，。系统的可靠度为：
为求系统的可靠度，只需求解下列方程组：
（7）
对（7）式进行Laplace变换，得到：
通过Maple 11.0软件，可解得的表达式[7][8]。但由于解的表达式非常长，这里就不给出具体的解，但可通过具体算例得到。
从而可得到系统可靠度的Laplace表达式：
（8）
系统首次故障前平均时间：
（9）
令该混贮备系统的隶属函数
其中：
系统模糊可靠度的Laplace表达式：
系统首次模糊故障前平均时间：
算例与分析如下：
设该有优先权的混贮备可修系统中的各个参数：
隶属函数的具体值有待专家的确定，通过Maple11.0软
件计算得到该系统的首次模糊故障前平均时间：
在其他参数不变的基础上，设：
分析：对部件1的工作故障修复频率以及对部件2的工作故障修复频率和贮备故障修复频率越高，系统的首次模糊故障前平均时间越长。当修理设备优先维护部件1时，保证部件1的正常运行，从而可以保证该系统的正常运行；或当部件1工作，部件2发生贮备故障或工作故障时，修理设备优先维护部件2，保证部件2正常温贮备，从而保证该系统的正常运行，即在这种修理状况下，该系统的首次模糊故障前平均时间比较长。
当组装系统的部件已经确定时，我们虽然无法改变部件的工作寿命，但我们可以通过修理设备对部件1以及部件2的尽快修复来增加系统首次模糊故障前平均时间，也就是说要保证这种系统能长时间的正常运行，要求修理工有较高的修理技术。
5.结束语
随着人们对产品和系统的可靠性要求越来越高，常规的二值状态可靠性理论往往不能满足实际要求。本文主要研究了在转换开关完全可靠的情况下，具有优先权且有一台修理设备的混贮备可修系统的模糊可靠性，从本质上改进了传统可靠性分析方法的局限与不足，是一种更符合实际的分析研究方法，研究结果可望在工程系统的模拟和设计方面得到广泛应用。
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作者简介：
姚瑶（1986—），女，江苏无锡人，南京工业大学经济与管理学院研究生，研究方向：可靠性，随机分析，马尔可夫过程。
钱存华（1964—），男，江苏扬州人，南京工业大学经济与管理学院教授，博士，研究方向：可靠性，随机过程等方面。
