两动一定最小值问题求三角形周长最小7篇

两动一定最小值问题求三角形周长最小7篇两动一定最小值问题求三角形周长最小　例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6．若P、Q分别是AB和AC上的动点，则PC+PQ的最下面是小编为大家整理的两动一定最小值问题求三角形周长最小7篇,供大家参考。

篇一：两动一定最小值问题求三角形周长最小

如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6．若 P、Q 分别是 AB 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是_________.

　 分析：作点 C 关于 AB 的对称点 D，过 D 作 DQ⊥AC 于 Q，则 DQ 的长度即为 PC+PQ 的最小值， 由勾股定理得到2 28 AC AB BC    ,根据三角形的面积可求得 4825AC BCCDAB    ,通过△DQC∽△ABC，得到CD DQAB AC  ,代入数据即48510 8DQ 可得19225DQ   .∴PC+PQ 的最小值是19225 答案: 19225 总结：如图，若是在相交线形成的“V”形，其中一边上有一定点，在两边上各有一动点，与定点的和求最小值时，只需要过定点作关于另一条线成轴对称的点，再通过对应点作定点所在线的垂线，垂线段的长度即为所求最小值,求最小值时常借助相似，过定点作垂直于定点所在线的高与另一线相交形成的直角三角形，与定点、对应点和最小值所形成的直角三角形相似可求出最小值

　练习：

　1. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=10,BC=5.若点 M、N 分别是线段 AC、AB 上的两个动点,则 BM+MN的最小值是(

　)

　A.10

　 B.8

　 C. 5 3

　 D.6

　2.如图，E 是正方形 ABCD 中边 CD 上一点，且 DE= 2 CE，连接 BE，P、Q 分别是 BE、BC上的动点，若 AD= 3 2 ，则 PC+PQ 的最小值是______.

　答案：

　2.分析：根据正方形的边长和 DE= 2 CE，求出 CE，再利用勾股定理列式求出 BE2 ，作点 C关于 BE 的对称点 C′，根据垂线段最短，作 C′Q⊥BC 与 BE 的交点即为所求的点 P，利用△BCE 和△C′QC 相似，相似三角形对应边成比例列式表示出 C′Q，利用三角形的面积用CC′表示出 BE，然后整理求解即可． 答案：3.

　例：

　如图，在△ABC 中，∠B=45°，∠BAC=30°，AB= 6 2 3   ，AD 是∠BAC 的平分线，若 P、Q 分别是 AD 和 AC 的动点，则 PC+PQ 的最小值是_____.

　分析：作 CE⊥AB，垂足为 E，交 AD 于 P 点，过 P 点作 PQ⊥AC，垂足为 Q．则 CP+PQ 为所求的最小值，根据 AD 是∠BAC 的平分线可知 PE=PQ，再由锐角三角函数的定义或勾股定理即可得出结论．

　答案：

　2 3 总结：当三角形中出现锐角的角平分线及锐角一边上的顶点（定点）及动点和角平分线线上的动点对应相连线段的和最小时，只需要通过定点向锐角的另一边作垂线，垂线段即为所求最小值

　 练习：

　1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD 是△ABC 的角平分线，若 P，Q 分别是 AD 和 AC 边上的动点，则 PC+PQ 的最小值是_____.

　2. 如图,在锐角三角形 ABC 中,AB=6,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,M,N 分别是AD 和 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值是________.

　答案：

　1.125

　 分析：过点 C 作 CE 垂直 AB 于点 E，则 CE 为最小值

　例：（2015 秋•江津区校级期中）如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB=30°，OP=8cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值是______．

　分析：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、OB 于点 M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN． ∵点 P 关于 OA 的对称点为 C，关于 OB 的对称点为 D， ∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA； ∵点 P 关于 OB 的对称点为 D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB， ∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°， ∴△COD 是等边三角形，∴CD=OC=OD=8cm．∴△PMN 的周长的最小值=8cm． 答案：8cm． 总结：如图，若是在相交线形成的“V”形的内部有一定点与相交线上的两动点形成的三角形周长最小，只需要分别定点关于这两条线成轴对称的对应点，连接两个对应点形成的

　 线段与相交线的交点即为两动点的位置，这个时候会得到多个等腰三角形，如△POD，△POC，△COD，△PND，△PMC，并且会得到“V”的夹角的 2 倍角

　练习：

　1. 如图,点 P 是∠AOB 内任意一点,OP=5cm,点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点,△PMN 周长的最小值是 5cm,则∠AOB 的度数是( )

　 A.25°

　 B.30°

　 C.35°

　D.40°

　2.（2015 秋•青山区期末）如图，∠AOB=α°，点 P 是∠AOB 内任意一点，OP=6cm，点 M和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值是 6cm，则α的值是_______.

　3.如图，∠AOB=30°，点 P 为∠AOB 内一点，OP=10，点 M、N 分别在 OA、OB 上，则△PMN周长的最小值是_____．

　4.如图，P 为∠AOB 内一定点，M、N 分别是射线 OA、OB 上一点，当△PMN 周长最小时，∠OPM=50°，则∠AOB=_______.

　答案：

　2. 分析：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、OB 于点 M、N，连接 OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出 PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB= 12∠COD，证出△OCD 是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果 答案：30 3.10 4.40°

　例：（2015 玉林）如图,已知正方形 ABCD 边长为 3,点 E 在 AB 边上且 BE=1,点 P,Q 分别是边BC,CD 的动点(均不与顶点重合),当四边形 AEPQ 的周长取最小值时,四边形 AEPQ 的面积是________.

　分析：其实质仍是轴对称中的最短路径问题，如图，先确定点 E 关于 BC 的对称点 E 1 ，再确定点 A 关于 DC 的对称点 A 1 ，连接这两个对称点 A 1 E 1 得到所对应的 P,O 的位置再根据△B E 1 P∽△A E 1

　A 1 得出相应的线段 BP、CP 的长均为32，从而可求得 S 四边形 AEPQ =S 正方形形 ABCD -S △ADQ - S △PCQ

　-S △BEP =1 1 1 992 2 2 2AD DQ CQ CP BE BP       

　答案：92 总结：如图，若是在相交线形成的“V”形的内部有两定点与相交线上的两动点形成的四边形的周长最小，只需要分别通过与动点紧邻的点作对应动点所在的直线成轴对称的对应

　 点，连接两个对应点形成的线段与线的交点即为两动点的位置，而对于周长求解时，常把对应点所连线段放在三角形中解决

　练习：

　1. 如图,抛物线 y=－x2 +2x+m+1 交 x 轴于点 A(a,0)和 B(b,0),交 y 轴于点 C,抛物线的顶点为 D.下列四个判断:①当 x>0 时,y>0;②若 a=－1,则 b=4;③抛物线上有两点 P(x 1 ,y 1 )和 Q(x 2 ,y 2 ),若 x 1 <1<x 2 ,且 x 1 +x 2 >2,则 y 1 >y 2 ;④点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E,点G,F 分别在 x 轴和 y 轴上,当 m=2 时,四边形 EDFG 周长的最小值为 .其中正确判断的序号是( )

　A.①B.②C.③D.④

　2.（2015 达州改编）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，∠AOC 的平分线交 AB 于点 D，E 为 BC 的中点，已知 A（0，4）、C（5，0），二次函数245y x bx c   的图象抛物线经过 A，C 两点. （1）求该二次函数的表达式；

　 （2）F、G 分别为 x 轴，y 轴上的动点，顺次连接 D、E、F、G 构成四边形 DEFG，求四边形DEFG 周长的最小值. 答案：

　2. 解：（1）将 A（0，4）、C（5，0）代入二次函数的解析式，得2445 5 55cb c          解得2454bc       ，故二次函数的表达式为24 2445 5y x x   

　 （2）如图：延长 EC 至 E′，使 E′C=EC，延长 DA 至 D′，使 D′A=DA，连接 D′E′，交x 轴于 F 点，交 y 轴于 G 点，GD=GD′EF=E′F， （DG+GF+EF+ED）

　最小 =D′E′+DE， 由 E 点坐标为（5，2），BC 的中点；D（4，4），直角的角平分线上的点；得 D′（-4，4），E（5，-2）． 由勾股定理，得2 2 2 22 1 5, (5 4) (4 2) 3 13 DE D E            , 3 13 5 DG GF EF ED         （ ）最 小

　例：

　如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为 CD 边的中点，点 P、Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ=2，当 BP=_____时，四边形 APQE 的周长最小．

　分析：要使四边形 APQE 的周长最小，由于 AE 与 PQ 都是定值，只需 AP+EQ 的值最小即可．为此，先在 BC 边上确定点 P、Q 的位置，可在 AD 上截取线段 AF=DE=2，作 F 点关于 BC 的对称点 G，连接 EG 与 BC 交于一点即为 Q 点，过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为 P 点，则此时 AP+EQ=EG 最小，然后过 G 点作 BC 的平行线交 DC 的延长线于 H 点，那么先证明∠GEH=45°，设 BP=x，则 CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE 中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得 x=4．

　答案：4 总结：

　遇到一条线同侧有两个定点分别记作 A 和 B，在这条线找两个距离一定的动点，使

　 其组成的四边形的周长最小时，只需要让 A 向 B 所在的这一侧水平移动动点之间的距离得到一个定点记作 C，然后作 B 关于直线的对称点记作 D，然后连接这个对称点 D 和 C 得到这条线与直线的交点（为动点中的一个），再把交点向 A 的这一侧移动动点间的距离即可得到另一个动点 ． 练习：1. 如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 上两个动点，且 PQ=3，当 CQ=______时，四边形 APQE 的周长最小．

　2. 如图，在边长为 10 的菱形 ABCD 中，对角线 BD=16．点 E 是 AB 的中点，P、Q 是 BD 上的动点，且始终保持 PQ=2．则四边形 AEPQ 周长的最小值为______．(结果保留根号)

　 3.(2010.天津)在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A,B分别在x轴、y 辅的正半轴上,OA=3,OB=4,D 为边 OB 的中点. (1)若 E 为边 OA 上的一个动点,当△CDE 的周长最小时,求点 E 的坐标;

　 (2)若 E,F 为边 OA 上的两个动点,且 EF=2,当四边形 CDEF 的周长最小时,求点 E,F 的坐标.

　 答案：1. 53 分析：点 A 向右平移 3 个单位到 M，点 E 关于 BC 的对称点 F，连接 MF，交BC 于 Q，要使四边形 APQE 的周长最小，只要 AP+EQ 最小就行，证△MNQ∽△FCQ 即可 2. 7 85  

　分析:将菱形 ABCD 放置在平面直角坐标系中，使得 B 为原点，BD 在 x 的正半轴上，根据题意得出 A、B、E 三点的坐标，将 A 平行向左移动 2 个单位到 A"点，作 A"关于 x 轴的对称点 F，则 F（6，-6），连 EF，交 x 轴于点 P，在 x 轴上向正方向上截取 PQ=2，此时四边形 AEPQ 的周长最小，AQ+EP=A"P+EP=FP+EP=EF，由此即可得出结论． 3. 解:(1)如图,作点 D 关于 x 轴的对称点 D′,连接 CD′与 x 轴交于点 E,连接 DE.

　(2)如图,作点 D 关于 x 轴的对称点 D′,在 CB 边上截取 CG=2,连接 D′G 与 x 轴交于点 E,在 EA 上截取 EF=2.

篇二：两动一定最小值问题求三角形周长最小

道关于 三角形的周长最小值 问题解法 探究(安徽省马鞍山市丹阳中学 孙世宝 邮编：243121)我们刚开时学习解析几何直线知识时，经常会碰到诸如此类问题：过定点 P 作动直线 L 分别交 x 轴及 y 轴非负半轴于 B A, 两点.求下列这些量：OABS  ， |, | | | OB OA OABl  ， | | | | PB PA  ( O 是原点，OABS  指面积，OABl  指周长)的最小值.称它们为小问题，是其太司空见惯了，我们对它们的解法也比较熟悉.下面笔者对其中一类问题的解法从多个角度进行阐述，以期揭示数学知识的内在联系，小中亦有大.一. . 问题及几个解答问题：过定点 ) 1 , 2 ( P 作动直线 L 分别交 x 轴及 y 轴正半轴于 B A, 两点.求 OAB  周长 l 的最小值.分析 1 1 ：回顾一下老问题求两个截距和的做法是有益的，以期达到温故而知新，提供化归原形的目的.设直线 L 方程为 ) 0 , ( 1    b abyax，可见 . 11 2 b a于是便有如下的所谓“1 代换”的解法：截距和 )1 2)( (b ab a b a     , ) 1 2 ( 3 2 2 322 3 )2(2         abbaabba所求 , 2 2 3 ) (min  b a 取等条件就不赘述了.(不展开，用一次柯西也行)更一般地 nb ma  的最小值(其中 n m, 为正常数)也可以这样解决.而现在要求2 2b a b a l     的最小值，去掉恼人的根号是关键:可考虑通过放缩，用 b a,的线性式子取代它.考虑到二元柯西不等式有 . 0 , ) ( ) )( 1 (2 2 2 2        b a b a于是 ,122 2 b ab a . )11 ( )111 (2 2b a l   下面的解法 1 也就顺理成章了.解法 1 1 ：设直线 L 方程为 ), 0 , ( 1    b abyax可见 11 2 b a.考虑到二元柯西不等式有 . 0 , ) ( ) )( 1 (2 2 2 2        b a b a于是 ,122 2 b ab a . )11 ( )111 (2 2b a l   

　若记 . 0 ,11 ,1112 2   n m. 2 2 2 )2( 2 )1 2)( ( mn n manbbman mb anb ma nb ma l            取等条件为a banbbmab a     ,2, 11 2消元得 ,12 11 2232  平方即, ) 2 1 ( ) 1 ( ) 1 2 (2 3 2 2 2       .43, 0 3 42 3      于是这样 . 10 ,25,310min   l b a分析 2 2：为去掉根号，移项平方 , ) (2 2 2b a b a l     即 , 0 2 2 22    ab bl al l考虑到条件 , 2 11 2b a abb a     于是得到 , ) 2 ( 2 ) 1 ( 22b l a l l    利用右边的最小值建立关于 l 的不等式，则问题获得解答.解法 2 2 ：

　, ) ( ,2 2 2 2 2b a b a l b a b a l         即 , 0 2 2 22    ab bl al l考虑到条件有 , 2b a ab   得到 . ) 2 ( 2 ) 1 ( 22b l a l l    显然 , 2  l 利用“1 代换”有 , ] 2 ) 1 ( 2 [ 2 )1 2]( ) 2 ( ) 1 [( 22 2         l lb ab l a l l即 , ) 2 )( 1 ( 2 4 ) 3 )( 2 (      l l l l 平方解得 10 , 10min  l l (取等条件略).分析 3 3 ：引入角参数),2, 0 (   OAB 通过不同的三角函数可以使得 l 的表达式中不出现根式,便于解决问题.而 3sin1cos2tan1tan 2        l , 3sincos 1cos) sin 1 ( 2引入代换 ,2tan t 可以转化为有理式子，便于解答问题.解法 3 3 ：如图 1 中不难求得3sin1cos2tan1tan 2        l ). 1 , 0 (2tan , 3sincos 1cos) sin 1 ( 2  t不难得到 , 10 61142 6 )114( 311) 1 ( 2    ttttttttt ttl于是4312tan ,31, 102min  ttt l  取到.显然直接利用导数也行(不管变量是  还是 t )，这就不多述了.

　分析 4 4 ：对于许多同学而言，可能会一开始使用直线的斜截式方程. 0 ), 2 ( 1     k x k y 不难求出它在 x 轴， y 轴上的截距 , ,b a, 2 1 ,1 2k bkka   于是 . 11 2 12 32 2 2kkkkk b a b a l        后面感觉太繁而舍去了.其实任何事情的成功，都是不断实践尝试的结果，此所谓“实践出真知”.不要轻易放弃任何可行的方法， 即使失败了---也积累了经验，为后面的成功奠定了基础(失败是成功之母).导数是解决极值，最值问题的最一般方法，为何不用导数试一下呢？解法 4 4 ：直线的斜截式方程为. 0 ), 2 ( 1     k x k y 不难求出它在 x 轴， y 轴上的截距 , ,b a , 2 1 ,1 2k bkka  于是 . 0 ), ( 11 2 12 32 2 2          k k f kkkkk b a b a l, ) 2 1 ( ) 1 ( ) 2 1 ( 012 1 1 ) 2 1 () (2 3 2 2 22 23 2 2"k k kk kk k kk f         化简为 .43, 0 3 42 3    k k k 此为单极值点，必为最小值点(明显无最大值)，于是 . 10 )43(min   f l分析及解法 : 5: 如图 2，考虑到圆的切线长定理(过圆外一点作的两条切线长相等)，做出与直线 AB 及与两个坐标轴都相切的圆(旁切圆)，其半径为 , r 圆心 ), , ( r r C 可见 , 2 | | | | | | | | | | r ON OM AB OB OA l       其中N M, 为两个切点.直线 ) 2 ( 1 :    x k y L 与圆2 2 2) ( ) ( : r r y r x C     相切，圆心 C 到直线 l 的距离 ,1| 1 ) 2 ( |2rkr r kr d     即, 0 1 2 ) 2 )( 1 ( 2 ) 1 ( 42       r k r r k r 判别式 . 5 , 0 ) 5 ( ) 1 ( 42      r r r r当43  k 时取等号，于是 . 10min l 此时圆与 L 相切于定点 . P也可利用 . 5 , ) 1 ( ) 2 ( | |2 2       r r r PC d r

　分析 6 6 ：大家都知道三角形不等式|, | | | | | AC BC BA   ). 0 , 0 ( ), , ( |, |2 2O b a M MO b a  ,2 2b a b a l     那么 b a 或 k k b a (   为一常数)在已知条件 11 2 b a下是否等于 |, | MF 其中 F 为一个定点 ? ) , ( n m 尝试一下，于是便有了解法 6.解法 6 6 ：设 , ) ( ) ( ) (2 2 2n b m a k b a       其中 b a, 的含义同前， k n m , , 为待定常数. 由已知 b a abb a2 11 2    由2 2 2) ( ) ( ) ( n b m a k b a       知：

　, 0 ) ( 2 ) ( 2 22 2 2        n m k b k n a k m ab即有 , 0 ) 2 ( 2 ) 1 ( 22 2 2         n m k b k n a k m令 ,00 20 12 2 2       n m kk nk m取 . 3 , 4 , 5    n m k考虑到：

　, 5 ) 1 2 (2   b a 我们有 , ) 3 ( ) 4 ( 52 2      b a b a ) 3 , 4 ( F .于是 , 10 | | 5 | | | | 5       FO MO MF l 取等时 O F M , , 共线.即所求 . 10min l事实上，在 ab O 坐标系中， ) , ( b a M 的轨迹是等轴双曲线 11 2 b a，离心率 . 2  e) 3 , 4 ( F 是其一个焦点，相应准线为 , 0 5   b a M 到此准线的距离 ,25  b ad. 5 | | | | 5 | |       MO MF MO ed l

　二. . 问题的一般化及两个三维推广题 问题 1( 原问题的一般化）

　）

　：过定点 ) , ( n m P 作动直线分别交过原点 O 两射线) 0 ( 0   x y 与 ) 0 ( tan    y x y (  ) , 0 (   为一定角， ,2  第二条射线为 y 轴正半轴)于点 , ,N M 求 OMN  的周长的最小值.(即夹角为  的两射线与过其内定点的直线围成的三角形周长最小值问题)答案为：

　, ) 12(tan 2 2 )2tan ( 22 2n mn n m     或2cos2sin) ( 22 12 1d d d d.2 1 ,dd 表示定点 P 到角  两边的距离.特别地2, 1 , 2    n m 就是我们前面解答的那个问题.大家能否根据我的解法得到启示，给出问题 1 及下面的问题 2 的解答呢？问题 2( 三维推广 1) ：已知 ), ( ) , , (2 2 2 2 2 2 2 2 2zcybxaz y xx z z y y x zx yz xyz y x f        其中 , 0 , ,  z y x 且 c b a , , 为给定三角形的三边长. 试求 ) , , ( z y x f 的最小值.答案为：

　, 42 2 2S c b a    S 为以 c b a , , 为边长的三角形面积.问题 3( 三维推广 2 2）

　）

　：已知 , ) ( ) ( ) ( ) , , (2 2 2c z b y a x z y x z y x g         且满足 . 0 ,2       k z y x k zx yz xy 常数 k c b a , , , 满足. 0 , 0 , 02         k k c b a k ca bc ab 试求 ) , , ( z y x g 的最小值.答案：

　. ) ( ) ( ) (2 2 2k c k b k a k      我们一开始的那个问题条件即：

　, 2 ) 1 )( 2 ( 11 2      b ab a而 .2 2b a b a l     作平移变换 , 1 , 2     b y a x则有 , 3 ) 1 ( ) 2 ( , 22 2        y x y x l xy 可见问题 3 是这个老问题的三维推广.

篇三：两动一定最小值问题求三角形周长最小

点三角形周长最小值问题探索■ 王震伟作者简介:王震伟(1978 －)，男，本科，中学一级教师，主要从事初中数学教学研究摘要:近年来，最值问题频繁出现在中考压轴题中． 在初中阶段，最值问题一直是个难点也是一个重点，它要求学生具有很强的问题分析能力与综合运用数学知识、数学思想方法解决问题的能力． 本文根据2015 年沈阳市中考题中的压轴最值问题，结合自己的理解，对这类最值问题的解题教学进行了深入的探究．关键词:压轴;最值;动点;浅入深出一、试题展示及解答题目:(2015 年沈阳中考第 25 题)如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y = －23x 2 －43x +2 与x轴交于B、C 两点(点 B 在点 C 的左侧)，与 y 轴交于点 A，抛物线的顶点为 D．(1)填空:点 A 的坐标为( ，)，点B 的坐标为( ， )，点C 的坐标为 ( ，)，点 D 的 坐 标 为 (， )．(2)点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B、C 重合)① 过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E，若 PE =PC，求点 E 的坐标;② 在 ① 的条件下，点 F 是坐标轴上的点，且点 F到 EA 和 ED 的距离相等，请直接写出线段 EF 的长;③ 若点Q是线段AB上的动点(点Q不与点A、B重合)，点Ｒ是线段AC上的动点(点Ｒ不与点A、C重合)，请直接写出 △PQＲ 周长的最小值．原题解答:(摘自网络)这里我们重点研究最后一小问．答案:(1)0、2，－3、0，1、0，－1、83;(2)①E(－32，图 1图 252);②32或52;③槡32 6565．对于最后一小问，网上给出的解答如下． 根据题意:当 △PQＲ 为 △ABC 的垂足三角形时，周长最小，所以 P 与 O 重合时，周长最小，如图2，作 O 关于 AB 的对称点 E，作 O 关于 AC 的对称点 F，连接 EF 交 AB 于点Q，交 AC 于 Ｒ，此时 △PQＲ 的周长 PQ + QＲ + PＲ =EF，因为 A(0，2)，B(－ 3，0)，C(1，0)，所以 AB =2 2 + 3槡2=槡 13，AC =1 2 + 2槡2= 槡 5，因为S △AOB =12×12OE × AB =12OA × OB，所以 OE =12槡 13，因为△OEM ∽ △ABO，所以 OMOA=EMOB=OEAB，即OM2=EM3=12槡 13槡 13，所以 OM =2413 ，EM =3613 ，所以 E(－2413 ，3613 )，同理求得 F(85，45)，即 △PQＲ 的最小值为 EF =(85+2413 )2+ (3613－45)槡2=槡32 6565．二、究问题之本 研解题之道上述问题是 2015 年沈阳中考的压轴题，做了以后感觉这个问题内涵丰富，值得研究，从而使得笔者对这一类问题有了更深的理解． 不管是学生还是老师，笔者· 5 ·

　认为拿到这个题目都有点束手无策，究其原因，其表面现象由三个动点求最小值，这种气势颇为吓人． 分析以后发现，对于这个问题，上面网络的解析，我感觉没能站在学生的角度分析，就算学生看了答案估计一些学生也不知所以然．“垂足三角形”这个概念不要说学生，就是没搞过奥赛的教师也许知道的也不多． 其实这个问题的本质考点是利用轴对称知识点进行转化后求最值．下面就笔者对本题的理解，结合若干小问题浅入深出的谈谈解题之道．问题1:如图3，P 为∠AOB 内部一点，试在OA，OB上各找一点 E、F，使得 △PEF 的周长最小．编制意图与简析:问题 1 比较简单，是一定两动三角形周长的最小值问题，只要化曲为直即可，所以利用对称，分别作点 P 关于 OA，OB 的对称点 P 1 ，P 2 ，连接P 1 P 2 与 OA，OB 的交点就是 E，F． 如图 4，此时 △PEF的周长最小，最小值就是线段 P 1 P 2 的长． 编制的意图是让学生理解一定两动三角形周长最小时，E，F 确定的原理．图 3图 4问题 2:如图 5，若 ∠AOB = 45°，OP = 3，在 OA，OB 上各找一点 E、F，使得 △PEF 的周长最小，求最小值．编制意图与简析:在问题 1 的基础上编制的问题2，它的求解目的性比较强，就是要利用现有的边和角求出线段P 1 P 2 的长． 如图6，易得△OP 1 P 2 为等腰直角三角形，所以 P 1 P 2 =槡3 2．编制的意图是要学生理解对称的性质，对应边相等，对应角相等，从而将问题转化成求一个腰长已知的等腰直角三角形的斜边长．图 5图 6变式1:∠AOB = 45° 不变，P不是定点，是∠AOB内一动点，且 OP = 3，在 OA，OB 上各找一点，使得△PEF 的周长最小，求最小值． 思考，最值变吗?作图后易得答案仍然为槡3 2，由此可见，当 ∠AOB确定，OP 长确定，最值不变．变式2:∠AOB = 45° 不变，P 不是定点，是 ∠AOB内一动点，且 OP = a，在 OA，OB 上各找一点，使得△PEF 的周长最小，求最小值． 思考，最值变吗?答案为 槡 2a，由此可见，当 ∠AOB 确定时，此问题的最值和动点 P 到 O 的距离有关，它是随 a 变而变．变式 3:OP = 3 不变，若 ∠AOB 的正切为12，在OA，OB 上各找一点，使得 △PEF 的周长最小，求最小值．答案为槡6 55，由此可见，当 OP 确定时，此问题的最值和 ∠AOB 的大小有关，它是随 ∠AOB 变而变．编制意图与简析:问题 2 及其变式，是以控制变量法探究一定两动三角形的最小值问题． 通过这一系列问题的解答，可以感受到当 ∠AOB 确定，OP 确定，则P 1 P 2 就是以OP为腰，2 倍∠AOB为顶角的等腰三角形的底边长，所以 P 1 P 2 也是确定的． 这样就将一个一定两动三角形周长最小值问题转化成了解已知顶角和腰长求等腰三角形底边长的问题了．所以这类问题的最值 l 就和定角 α 及角内定点(或动点)到角的定点距离 m 有关(如图 7)． 通过研究，我们可以得到一个非常简洁的结论为l = 2sinα·m(0 ＜ α ＜ 90°)问题 3:已知如图 8，∠AOB 的正切值为34，OC =· 6 ·

　图 7图 85，OD = 6，P 为线段 CD 上一动点，E、F 分别是 OA，OB的动点，求 △PEF 周长的最小值是多少?编制意图与简析:根据以上问题 1 和 2 的分析，问题 3 也就不难理解了． 本题的角是确定的，所以，OP 什么时候最小，三角形周长就什么时候最小，即当 OP 垂直于 CD 时． (解略)下面我们再看 2015 年沈阳中考最后一题的最后一问，理解后的答案为 S △PQＲ = 2BC ·sin∠ABC ·sin∠ACB = 2 × 4 ×2槡 13×2槡5=槡32 6565． 这里笔者是以 ∠ACB 为定角来研究最小值的．图 9到这读者应该还有一个疑问，为什么以 ∠ACB 为定角来研究最小?是不是该分类讨论?在不知道什么垂足三角形的前题下，应该有这个疑问． 请看图 9 证明．2AE · sin∠BAC = 2AC ·sin∠ACB·sin∠BAC = 2AB·sin∠ABC·sin∠BAC．2BD·sin∠ABC = 2AB·sin∠BAC·sin∠ABC =2BC·sin∠ACB·sin∠ABC． 2CF·sin∠ACB = 2AC·sin∠BAC·sin∠ACB = 2BC·sin∠ABC·sin∠ACB． 所以 2AE · sin∠BAC = 2BD · sin∠ABC = 2CF ·sin∠ACB． 也就是无论从哪个角思考都可以，它们的结果是一样的，所以笔者找了最好算的一个方向．三、教学启示数学中考仍是以定量评价全面考察学生数学学习全过程的重要方式． 而压轴题不仅注重考察学生对数学概念的理解，数学思想方法的掌握，而且其对数学思考深度，探究与创新的水平及应用数学解决实际问题的能力有更高要求从而发挥甄别与选拔功能． 最值问题作为压轴题一直是困扰教师和学生的难点，本文针对 2015 年沈阳中考的压轴最值问题，进行了浅入深出的分析． 将较为复杂的动点最值问题，通过理解，编制了一组问题窜，使问题变得清晰明了．综合题学生不会做的原因是知识点不熟，不会分析． 其实老师都知道一个综合题是由若干个知识点拼在一起组成的，如果在解题时哪句话没理解或哪个知识点没想起来，那么这个综合题也就卡在那了． 所以平时老师对综合题的教学绝不能就题论题，解一题是一题． 我们更应该看到问题的本质，从源头去讲解，看看这个题能不能变“个案”为“类案”，能否研究出这类题的解题通法，也就是我们老师平时常说的举一反三．“浅入深出”是笔者一直思考和实践的教学模式，这能充分调动学生学习的积极性，启发学生的思维，提高学生的解题能力和探索能力．［江苏省常州市武进区马杭初中 (213162 )］· 7 ·

篇四：两动一定最小值问题求三角形周长最小

sect; 嘞 m 解题 技巧与方法 一 引 ≥ 辔 【摘 要】三角形周长 的最 小值 的求解是初 中数学学 习 的一个重 点和难 点．在求解此 类问题时 ，学 生往 往感到不 知从何入手．本文探讨的主要 内容 是如何利用对 称性来解 决 三 角 形 的周 长何 时取 得 最 小 值 ．

　【关键词 】三角形的周 长；对称性 ；三角形 的性质 ；线段 垂 直 平分 线性 质 ：两 点 之 间 线段 最短 求解 三角形周长 的最小 值时 ，有以下两种情 况 ：一 、如 果 三 边 均 为 未 知 ．此 时 找 出其 中 两 边 分 别 关 于某 一 直 线 的 对称线 段 ．三条线段 在一条直 线上 时 ，即为 j三角形周 长 的 最小值 ：二是如果遇 到题 中所 涉及 的三边 中 ，有一边 的值 已知或是为一定值 ，那么只需考 虑另外两边 的值 的和的最 小值．此时 ．首先须找 出其 中一 边关于某条直线 的对称线 段 ，然 后 利 用 角 形 的 两 边 之 和 大 于 第 三 边 这 一 性 质 解 决 问题 即 可 ．

　例 1 (作 图题 )设 A 是 ／MON 内的一个定 点，试在 OM，ON上确定 点 B．C，使 AABC 的周 长 最 小．

　作法：① 作点A关于 OM，ON 的对 称 点 A。，A ．

　O N ( 连 接 1，A 2，交 OM 于 点 B，交 ON 于 点 C．

　③ 连接 AB， C，则AABC即为周 长最 小的三角形．

　证 明 在 OM，ON上 任取 不 同于 日，C的两 点 ，连接 』41 1，曰1C1，CI A 2，贝1 A1B1+BlCl+ClA 2>Al A 2，即 △A日lCl的 周 长 大 于 △ABC的 周 长 ．

　、：

　A 2 2 例 2 求 证 ：

　固定 AABC 的 一边 AB，面 积 一定 时 ，以 日 为 底 的 等腰 三 角形 周 长 最 小 ．

　证明 作直线 ∥AB，并设 c，， C2∈L，设 △ BC中 ，AC。=BC．，设 AABC2中 ，4 ≠ BC2，显 然 ，AABCl

　与 A ABC2等积．只须证 4Cl

　4-BC】< AC2 4-日C ．设 f是 B 关 于 直 线 L 的 A 数学学 习与静f究 2009．9 对 称 点 ．则 BCl=BlCl，BC2=B1C2，从 而 AC +BC。=AC1

　4-B Cl=AB1<AC24 -BlC2=AC2+BC2． 例 3 如 图 1，点 D 为 BC上 的 一定 点 ．E．F分 别 为 AB，AC 边 上 的 动点，当 E，F分别在什 么位置 时 ，对 应 △DEF周 长 何 时 最 小 ? 解 先 假 设 BC上 的 D 点 已 经 确定 ，分别作 D关 于 AB，AC的对称 B D C 图 1 点 G，日，其 中 DG上 曰 于 ，，DHj_ C于 ． ，，再连 接 GH，分 别交 B， C于 E，F，则 EF即为所求 的点．

　证明 分 别在 B，AC上 任意 取 两点 ，Y (异 于 E和 F)，连接 xy，xD，Gx，

　，AB．

　·．· B 是 DG的 中垂 线 ，AC是 ，j 的 中 垂线 ，

　．。． C△ =xy 4 -xD 4 -yD =xy4 -xG 4-yH > GH =GE 4 - F+ FH =EF4 - DE 4 -DF=C△ ． 可 见相 对 于确 定 的 D 点 ，上 述 ADEF周 长最 小 ．

　现 在 我 们 继 续 探 讨 原 先 问 题 ， 即如 何 在 BC上 取 定 适 当 的 D 点 ，使 上 述 ADEF的 周 长 最 小 ? 存 图 1中连 接 ，

　4ID =90。，

　JD=90。

　AIDJ，四 点 共 圆 ．

　又 ／ _AID=RtA_~AD为o0的直径 ，由正弦定理 — =d= D，

　．’． C =GH =2／J=2ADsinA．

　可 见周长是 由 D的大小最后确定 ，因此 D为 高线 时 ．AD达到最小 值 ，此时周长也就是最小．

　如 图 2．在 △ABC中 ，作 高 AD，作 D关 于 AB 的对称 G．作 D关于 C的对 称点 日，则 GD J_ 曰于 I，DHj_ C于 _ ，，连 接 GH 分别 交 AB，AC于 E，F连接 DE，CE．这 时 CE，

　BF都 会 是 高线 ．现 证 明 如 下 ：

　证明 )

　⋯。=AA 又 4，，，D，I，共 圆j ／ _AIJ= ，从 而 CD= A Ij ADGH的中位线 lj力GH ～EF=乙 lj， 从 而 ACD = A F= 1．

　又 是 ，JG 的 中垂 线 ／1= ／2 ／ACD=／2j ．

　E．D．C共 圆j ／ _AEC= 厶 4DC=90。j CE 是 高 线 ， 同 理 BF也 是 高 线．

篇五：两动一定最小值问题求三角形周长最小

≤≤j}≥——数理化解题研究——————竺竺篁墼些堕篁星些坠对三角形中的最值问题的解法探究宗　 仲(江苏省前黄高级中学国际分校　 ２１３１６１)摘　 要:解三角形中的最值问题是近几年高考中的热点问题,也是难点问题,如何讲解此类问题使学生更易理解和掌握是我们每一位教师都在思考的问题. 本文旨在利用具体问题来优化、总结此类问题的解决方案和解法方向.关键词:能力；转化；运算；综合中图分类号:Ｇ６３２　 　 　 　 　 　 文献标识码:Ａ　 　 　 　 　 　 文章编号:１００８ －０３３３(２０２１)０７ －００１４ －０２收稿日期:２０２０ －１２ －０５作者简介:宗仲(１９８６. ９ － ),女,江苏省常州人,本科,中学一级教师,从事高中数学教学研究.　 　 解三角形中的最值问题,在近几年各类考试中频繁出现,颇受命题者的青睐. 要求学生们有较强的逻辑思维能力、准确的计算能力才能顺利解答. 这类问题的实质是将几何问题转化为代数问题,主要运用三角形的内角和定理、正余弦定理、面积公式、三角恒等变形、三角函数的性质、基本不等式、导数等知识解题. 下面举例说明三角形中的最值问题的常见解法,供各位参考.例 １　 在锐角△ＡＢＣ 中,若 ｓｉｎＡ ＝ ２ｓｉｎＢｓｉｎＣ,则 ｔａｎＡ•ｔａｎＢ•ｔａｎＣ 的最小值为 .分析　 本题仅涉及三个角变量,优先考虑利用内角和定理实现消元,并结合两角和的正切公式挖掘出整体,从而实现整体消元.解析　 因为 ｓｉｎＡ ＝２ｓｉｎＢｓｉｎＣ,所以 ｓｉｎ( π － Ｂ － Ｃ) ＝ ｓｉｎ( Ｂ ＋ Ｃ) ＝ ｓｉｎＢｃｏｓＣ ＋ｃｏｓＢｓｉｎＣ ＝２ｓｉｎＢｓｉｎＣ.两边同除以 ｃｏｓＢｃｏｓＣ,得 ｔａｎＢ ＋ ｔａｎＣ ＝２ｔａｎＢｔａｎＣ.所以 ｔａｎＣ ＝ ｔａｎ ( π － Ａ － Ｂ) ＝ － ｔａｎ ( Ａ ＋ Ｂ) ＝－ｔａｎＡ ＋ ｔａｎＢ１ － ｔａｎＡｔａｎＢ .设 ｔａｎＡｔａｎＢ ＝ ｘ(ｘ >０),则 ｔａｎＡ ＋ ｔａｎＢ ＝２ｘ.所以 ｔａｎＡｔａｎＢｔａｎＣ ＝２ｘ ２ｘ －１＝２１ｘ－１ｘ ２.设１ｘ＝ ｔ,则 ｔａｎＡｔａｎＢｔａｎＣ ＝２ｔ － ｔ ２ (ｔ >０).所以当 ｔ ＝１２时,ｔａｎＡ•ｔａｎＢ•ｔａｎＣ 取最小值为 ８.变式 １　 在△ＡＢＣ 中,若 ｓｉｎＡ ＋ ２ ｓｉｎＢ ＝ ２ｓｉｎＣ,则ｃｏｓＣ 的最小值为 .分析　 本题虽然依旧涉及三个角变量,但与例 １ 相比较,所求的 ｃｏｓＣ 不易表示,因此利用解三角形的基本思想:边角互化,将三个角变量转化成三个边变量,从而实现消元,再利用基本不等式求解.解析　 由正弦定理,得 ａ ＋ ２ｂ ＝２ｃ.由余弦定理,得ｃｏｓＣ ＝ａ ２ ＋ ｂ ２ － ｃ ２２ａｂ＝ａ ２ ＋ ｂ ２ － ( ａ ＋ ２ｂ２)２２ａｂ＝３ａ ２ ＋２ｂ ２ －２ ２ａｂ８ａｂ＝１８( ３ａｂ＋２ｂａ－２ ２)≥１８(２３ａｂ• ２ｂａ－２ ２)＝１８(２ ６ －２ ２) ＝６ － ２４,当且仅当 ３ａｂ＝２ｂａ时取等号.变式 ２ 　 在锐角 △ＡＢＣ 中,已知 ２ｓｉｎ ２ Ａ ＋ ｓｉｎ ２ Ｂ ＝２ｓｉｎ ２ Ｃ,则１ｔａｎＡ＋１ｔａｎＢ＋１ｔａｎＣ 的最小值是.分析　 本题依旧是三个角变量,与变式 １ 相似,用角无法实现消元,依然利用边角互化和三角恒等变形进行求解.解析　 由正弦定理,得 ２ａ ２ ＋ ｂ ２ ＝２ｃ ２ .因为 ２ａ ２ ＋２ｂ ２ －２ｃ ２ ＝ ｂ ２ ,所以 ４ａｂｃｏｓＣ ＝ ｂ ２ .所以 ４ａｃｏｓＣ ＝ ｂ.所以 ４ｓｉｎＡｃｏｓＣ ＝ ｓｉｎＢ ＝ ｓｉｎ ( Ａ ＋ Ｃ) ＝ ｓｉｎＡｃｏｓＣ ＋ｃｏｓＡｓｉｎＣ.所以 ３ｓｉｎＡｃｏｓＣ ＝ ｃｏｓＡｓｉｎＣ.所以 ３ｔａｎＡ ＝ ｔａｎＣ.— ４ １ —万方数据

　竺竺篁塑些堕篁型些l_———一数理化解题研究——◇≤≤j}≥=设 ｔａｎＡ ＝ ｘ,则 ｔａｎＢ ＝ － ｔａｎ(Ａ ＋ Ｃ) ＝４ｘ３ｘ ２ －１ .所以１ｔａｎＡ＋１ｔａｎＢ＋１ｔａｎＣ＝９ｘ ２ ＋１３１２ｘ＝３ｘ４＋１３１２ｘ≥２３ｘ４•１３１２ｘ＝１３２,当且仅当 ３ｘ４＝１３１２ｘ 时取等号.变式 ３　 在锐角△ＡＢＣ 中,已知 ｃ ２ － ｂ ２ ＝ ａｂ,则１ｔａｎＢ－１ｔａｎＣ＋２ｓｉｎＣ 的取值范围是 .分析　 本题与前面三题相比较,最困难的地方就是角关系的挖掘,需要借助于正余弦定理的混合使用才能实现. 另外本题与前三题有一个本质区别,本题是求取值范围,所以自变量范围的确定需要精确,这点也是本题的一个易错点.解析　 由余弦定理,得 ａ ２ ＋ ｂ ２ －２ａｂｃｏｓＣ － ｂ ２ ＝ ａｂ.所以 ａ ２ －２ａｂｃｏｓＣ ＝ ａｂ.所以 ａ －２ｂｃｏｓＣ ＝ ｂ.由正弦定理,得 ｓｉｎＡ －２ｓｉｎＢｃｏｓＣ ＝ ｓｉｎＢ.所以 ｓｉｎ(π － Ｂ － Ｃ) －２ｓｉｎＢｃｏｓＣ ＝ ｓｉｎＢ.所以 ｓｉｎ(Ｂ ＋ Ｃ) －２ｓｉｎＢｃｏｓＣ ＝ ｓｉｎＢ.所以 ｓｉｎＢｃｏｓＣ ＋ ｃｏｓＢｓｉｎＣ －２ｓｉｎＢｃｏｓＣ ＝ ｓｉｎＢ.所以 ｃｏｓＢｓｉｎＣ － ｓｉｎＢｃｏｓＣ ＝ ｓｉｎＢ ＝ ｓｉｎ(Ｃ － Ｂ).在锐角△ＡＢＣ 中,Ｂ ＝ Ｃ － Ｂ,所以 Ｃ ＝２Ｂ.所以１ｔａｎＢ－１ｔａｎＣ＋２ｓｉｎＣ ＝１ｔａｎＢ－１ｔａｎ２Ｂ＋２ｓｉｎ２Ｂ＝１ｔａｎＢ－１ － ｔａｎ ２ Ｂ２ｔａｎＢ＋４ｓｉｎＢｃｏｓＢ＝１ｔａｎＢ－１ － ｔａｎ ２ Ｂ２ｔａｎＢ＋４ｓｉｎＢｃｏｓＢｓｉｎ ２ Ｂ ＋ ｃｏｓ ２ Ｂ＝１ｔａｎＢ－１ － ｔａｎ ２ Ｂ２ｔａｎＢ＋４ｔａｎＢｔａｎ ２ Ｂ ＋１＝１ ＋ ｔａｎ ２ Ｂ２ｔａｎＢ＋４ｔａｎＢｔａｎ ２ Ｂ ＋１ .设 ｘ ＝ｔａｎ ２ Ｂ ＋１ｔａｎＢ＝ ｔａｎＢ ＋１ｔａｎＢ ,由锐角△ＡＢＣ,得Ａ ＝ π －３Ｂ∈(０,π２),Ｂ∈(０,π２),Ｃ ＝２Ｂ∈(０,π２).ìîíïïïïïï所以π６< Ｂ <π４,所以３３< ｔａｎＢ <１,解得 ２ < ｘ <４ ３３.所以１ｔａｎＢ－１ｔａｎＣ＋２ｓｉｎＣ ＝ｘ２＋４ｘ∈( ５ ３３,３).例 ２　 设△ＡＢＣ 的面积为 ２,若 Ａ,Ｂ,Ｃ 所对的边分别为 ａ,ｂ,ｃ,则 ａ ２ ＋２ｂ ２ ＋３ｃ ２ 的最小值为 .分析 １　 依旧采取例 １ 的消元、正余弦定理的结合,本题比较困难的地方在于融合了放缩的思想,等号满足同时取得,最终最值的求解还需要借助于导数.解法 １　 因为 Ｓ ＝１２ａｂｓｉｎＣ ＝２,所以 ａｂ ＝４ｓｉｎＣ .由余弦定理,得ａ ２ ＋２ｂ ２ ＋３ｃ ２ ＝ ａ ２ ＋２ｂ ２ ＋３(ａ ２ ＋ ｂ ２ －２ａｂｃｏｓＣ)＝４ａ ２ ＋５ｂ ２ －６ａｂｃｏｓＣ≥４ ５ａｂ －６ａｂｃｏｓＣ＝１６ ５ －２４ｃｏｓＣｓｉｎＣ＝８(２ ５ －３ｃｏｓＣ)ｓｉｎＣ.设 ｆ(Ｃ) ＝２ ５ －３ｃｏｓｃｓｉｎｃ,则 ｆ ′(Ｃ) ＝３ －２ ５ｃｏｓＣｓｉｎ ２ Ｃ＝０.所以 ｃｏｓＣ ＝３ ５１０,ｓｉｎＣ ＝５５１０.所以 ａ ２ ＋２ｂ ２ ＋３ｃ ２ 的最小值为 ８ １１.分析 ２　 以上的题目都是将几何问题代数化解决,而几何问题本身可以从几何的角度考虑. 因此联想坐标化来实现,本题坐标化后再转化成方程有解,简单易操作.解法 ２　 以 ＢＣ 的中点为坐标原点,以 ＢＣ 所在直线为 ｘ 轴建立平面直角坐标系,则 Ｂ( －ａ２,０),Ｃ(ａ２,０).因为 Ｓ ＝１２ａｙ Ａ ＝２,所以 ｙ Ａ ＝４ａ.设 Ａ(ｘ,４ａ),则 ａ ２ ＋ ２ｂ ２ ＋ ３ｃ ２ ＝ ｔ ＝ ａ ２ ＋ ２(ｘ －ａ２) ２ ＋２• １６ａ ２＋３(ｘ ＋ａ２) ２ ＋３• １６ａ ２.所以 ５ｘ ２ ＋ ａｘ ＋９４ａ ２ ＋８０ａ ２－ ｔ ＝０ 有解.所以△ ＝ ａ ２ －２０(９４ａ ２ ＋８０ａ ２－ ｔ)≥０.所以 ｔ≥ ８０ａ ２＋１１５ａ ２ ≥２８０ａ ２• １１５ａ ２ ＝８ １１.当然,题目千变万化,具体处理手法还需要按照题目具体分析研究. 但不管如何变化,解决的思想始终是:几何问题代数化、消元思想、边角互化思想、正余弦定理的合理转化思想等,抓住这些,在遇到此类问题时,学生们可以从容应对.　 　 参考文献:[１]曹越程. 一道三角形最值问题的解法探究[Ｊ]. 数理化解题研究,２０１９(２２):１９ －２０.[２]李凯,郑玲. 探究三角形中的最值问题的常见解法[Ｊ]. 数学通讯,２０１９(０１):１５ －１９.[责任编辑:李　 璟]— ５ １ —万方数据

篇六：两动一定最小值问题求三角形周长最小

数学 动点产生的最值问题 专项讲解 一、如图 1,在直线 l 上找到一点 P,使得 PA+PB 最短. 做法如图 2,连接 A、B 与 l 的交点即为所求.

　图 1

　 图 2

　图 3

　 图 4 二、如图 3,在直线 l 上找到一点 P,使得 PA+PB 最短.做法如图 4,做点 B 关于直线 l的对称点 B / ,连接 AB / 与 l 的交点即为点 P. 因为 A、B 两点是固定的,所以当题目要求找到一点 P 使得△PAB 的周长最小时,做法也是一样的. 三、如图 5,在直线 l 上找到两点 EF(点 E 在点 F 的左侧),EF 的距离是定值,使得AE+EF+FB 最小. 做法如图 6,过 A 做 AA"∥l 且 AA"=EF,做 B 关于直线 l 的对称点 B′,连接 A"B"与直线 l 的交点即为 F,过 A 做 A"F 的平行线与直线 l 的交点即为点 E 同样地,因为AB两点是固定的,所以当题目要求使得四边形AEFB周长最小时,也是用同样的方法

　图 5

　 图 6

　图 7

　 图 8 四、如图 7,直线 a 与直线 b 平行,在直线 a 上找到一点 A,过点 A 作直线 b 的垂线交于点 B,如何确定点 A 的位置可以使 PA+AB+BQ 最短. 做法如图 8,做 PD 垂直直线 b 交直线 a 于点 C,交直线 b 于点 D,在 PD 上截取PECD,连接 EQ,EQ 与直线 b 的交点即为点 B,过点 B 做直线 a 的垂线,交点即为点A,连接 PA 即可. 这种方法在实际生活中的应用就是著名的修桥问题. 五、如图 9,在直线 l 上找到一点 M,使得|MA-MB|最小;直线 l 上找到一点 N,使

　|NA-NB|最大. 做法如图 10,做 AB 的中垂线与直线 l 相交,交点即为 M、此时|MA-MB|有最小值 0.如图 11,延长 BA 与直线 l 相交,交点即为 N、此时|NA-NB|有最大值为 AB.

　图 9

　图 10

　图 11 六、如图 12,点 P 是∠AOB 内部一点,在 OA 上找到一点 M、OB 上找到一点 N 使三角形 PMN 的周长最小. 做法如图 13,分别作点 P 关于 QA、OB 的对称点 P1、P2,连接 P1P2、与 OA的交点即为 M,与 OB 的交点即为 N.此时,三角形 PMN 的周长最短.

　图 12

　图 13

　 图 14

　图 15

　七、如图 14,点 P 是∠AOB 内部一点,在 OA 上找到一点 M、过点 M 作 AMN 垂直OB 交 OB 于点 N,使得 PM+MN 的最小. 做法如图 15,作点 P 关于 OA 的对称点 Q,做 QN 垂直 OB 于 N、则 QN 与 OA的交点为 M. 八、如图 16,在三角形 ABC 中找到一点 P,使得 PA+PB+PC 最小. 做法如图 17,分别以 AB、BC、AC 为边向外做等边三角形,连接 AD、BE、CF的交点就是符合条件的点 P.

　lABlMABlNABOPABNMP2P1OPABOPABPNOABMQ

　 图 16

　 图 17

　图 18

　 图 19 九、如图 18,三角形 ABC 是等腰直角三角形,C 是直角顶点、以 C 为圆心,21AB 长为半径作圆,在⊙C 上找到一点 P,使得 PA+22PB 最短. 做法如图 19,取 BC 的中点 D,连接 AD,则 AD 与⊙C 的交点即为 P. 注:在⊙C 上任取一点 P,连接 PC,PB,∵CPCD=CBCP=22,且∠PCD=∠BCP ∴△PCD∽△BCP， ∴PD =22PB

　 学思路 铺垫 已知:二次函数 y=-2x 2 +3x-23与直线 y=x 交于 A、B 两点,点 A 在点 B 的左侧. (1)A、B 两点的坐标分别是__________、 (2)在 y 轴上找到一点 C,使得三角形 ABC 的周长最小,则点 C 的的坐标为_______ (3)若以M为圆心的圆经过AB两点,且圆心角AMB是直角,请写出M的坐标_____;若以 M 为圆心,以 2 为半径作圆,在此圆上找到一个点 P,使 PA+22PB 最小,则此最小值为_____________，_____________ 思路：

　ABCDEF AB CPACBPDACB

　①两定点在定直线同侧,作对称； ②先转化22PB,取 MB 的中点 Q,连接 AQ, 则 AQ 的长度即为所求.

　压轴题 (山东滨州中考)如图 2-4-20,已知直线 y=kx+b(k、b 为常数)分别与 x 轴、y 轴交于点 A(-4,0)、B(0,3),抛物线 y=-x 2 +2x+1 与 y 轴交于点 C. (1)求直线 y=kx+b 的函数解析式； (2)若点 P(x,y)是抛物线 y=-x 2 +2x+1 上的任意一点,设点 P 到直线 AB 的距离为 d,求 d 关于 x 的函数解析式,并求 d 取最小值时点 P 的坐标; (3)若点 E 在抛物线 y=-x 2 +2x+1 的对称轴上移动,点 F 在直线 AB 上移动,求 CE+EF的最小值

　提能力

　1.(山东烟合中考)如图 2-4-21,抛物线 y=ax 2 +bx+2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C,AB=4,矩形 OBDC 的边 CD=1,延长 DC 交抛物线于点 E (1)抛物线的解析式为________; (2)如图 2-4-22,点 P 是直线 EO 上方抛物线上的一个动点,过点 P 作 y 轴的平行线交直 EO 于点 G,作 PH⊥EO,垂足为 H.设 PH 的长为 l,点 P 的横坐标为 m,求 L 与 m 的函解析式(不必写出 m 的取值范围),并求出 l 的最大值.

　2.(山东东营中考)如图 2-4-23,直线 y=33x+ 3 分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点,点 A 在 x 轴上,∠ACB=90°,抛物线 y=ax 2 +bx+ 3 经过 A,B 两点. (1)A、B 两点的坐标分别为_____________;抛物线的解析式为____________ (2)点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点,过点 M 作 MH⊥BC 于点 H,作 MD∥y 轴交 BC 于点 D,求△DMH 周长的最大值.

　3.(湖南岳阳中考)如图 2-4-24,抛物线 y=32x 2 +bx+c 经过点 B(3,0),C(0,-2),直线 l:y=-32x-32交 y 轴于点 E,且与抛物线交于 A,D 两点,P 为抛物线上一动点(不与 A,D 重合. (1)抛物线的解析式为________; (2)当点 P 在直线 l 下方时,过点 P 作 PM∥x 轴交 l 于点 M,PN∥y 轴交 l 于点 N,求PM+PN 的最大值

　 4.(天津中考)已知抛物线 y= x 2 +bx-3(b 是常数)经过点 A(-1,0). (1)该抛物线的解析式和顶点坐标分别为________; (2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P 关于原点的对称点为 P / .当点 P / 落在第二象限内,并且 P / A 2 取得最小值时,求 m 的值.

　 5.(湖南怀化中考)如图 2-4-25,在平面直角坐标系中,已知抛物线 y=ax 2 +bx-5 与 x 轴交于点 A(-1,0),B(5,0),与 y 轴交于点 C. (1)抛物线的函数表达式为________; (2)若点 K 为抛物线的顶点,点 M(4,m)是该抛物线上的一点,在 x 轴,y 轴上分别找点P,Q,使四边形 PQKM 的周长最小,求出点 P,Q 的坐标

　 6.(甘肃兰州中考)如图 2-4-26,抛物线 y=-x 2 +bx+c 与直线 AB 交于 A(-4,-4),B(0,4)两点,直线 AC:y=-21x-6 交 y 轴于点 C.点 E 是直线 AB 上的动点,过点 E 作 EF⊥x 轴交 AC 于点 F,交抛物线于点 G. (1)抛物线 y=-x 2 +bx+c 的表达式为________; (2)已知 E(-2,0),H(0,-1)以点 E 为圆心,EH 长为半径作圆,点 M 为⊙E 上一动点,求21AM+CM 的最小值.

篇七：两动一定最小值问题求三角形周长最小

（湖南省永州市）已知二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点 A（ － 2，0），与 y 轴的交点为 B（0，4），且其对称轴与 y 轴平行． （1）求该二次函数的解析式，并在所给坐标系中画出这个二次函数的大致图象；

　（2）在该二次函数位于 A、B 两点之间的图象上取一点 M，过点 M 分别作 x 轴、 y 轴的垂线段，垂足分别为点 C、D．求矩形 MCOD 的周长的最小值，并求使矩形 MCOD 的周长最小时的点 M 的坐标．

　2．（湖南省冷水江市）如图，已知 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片， O 为坐标原点，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 OA＝5，OC＝3．在 AB 边上选取一点 D，将△AOD 沿 OD 翻折，使点 A 落在 BC 边上，记为点 E． （1）求直线 DE 的解析式； （2）过点 E 作 EF∥AB 交 OD 于点 F，以 F 为顶点的抛物线与直线 DE 只有一个公共点，求该公共点的坐标；

　（3）在 x 轴、 y 轴上是否分别存在点 M、N，使四边形 MNED 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果y 不存在，请说明理由．

　 C E B D F O A x -2 4 y O x

　3．（湖南省湘西自治州）如图，已知抛物线 y＝ax－ 4x＋c 经过点 A（0， － 6）和 B（3， － 9）． （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；

　（3）点 P（m，m）与点 Q均在抛物线上（其中 m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求 m的值及点 Q 的坐标；

　2（4）在满足（ 3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点 M，使得△QMA 的周长最小．

　4．（广西贺州市）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（0，1）、B（3，5），以 AB 为边作如图所示的正方形ABCD，顶点在坐标原点的抛物线恰好经过点 D，P 为抛物线上的一动点． （1）直接写出点 D 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）求点 P 到点 A 的距离与点 P 到 x 轴的距离之差； （4）当点 P 位于何处时， △APB 的周长有最小值，并求出 △APB 的周长的最小值．

　-9 B -6 A y O 3 x y C B D A O P x

　5.（福建省宁德市）如图，四边形 ABCD 是正方形，△ ABE 是等边三角形， M 为对角线 BD 上任意一点，将 BM绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 AM、CM、EN． （1）求证：△ AMB≌△ENB； （2）①当 M 点在何处时， AM ＋ CM 的值最小； ②当 M 点在何处时， AM ＋ BM ＋ CM 的值最小，并说明理由； （3）当 AM ＋ BM ＋ CM 的最小值为 3 ＋ 1 时，求正方形的边长．

　 E N M B C A D

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