摘 要：众所周知，勒贝格（Lebesgue）积分是黎曼（Riemann）积分的推广，但人们很少解释这种推广为什么重要以及为什么它是纯粹和应用数学家的有力武器。勒贝格积分与黎曼积分相比，其重要性至少体现在两个方面：一是这两个理论的控制收敛定理，另一个是赋范线性空间的完备性。通过一些简洁的例子和讨论来阐明这些论点。
关健词：黎曼积分；勒贝格积分；胖Cantor集；发展演变
中图分类号：O172.2 文献标识码：A 文章编号：2095-6835（2014）02-0095-04
在高等数学中，积分概念的介绍都是从黎曼（Riemann）积分开始的，Riemann积分是线形成面的具体反映，它的积分理论相对简单，计算简洁方便，基本能够解决日常生活中遇到的问题。但从现代分析的角度看，Riemann积分只能处理所谓连续（含几乎处处连续）的有关问题，对大多数不连续的有关问题无能为力。众所周知，现代数学处理问题所用的积分工具是勒贝格（Lebesgue）积分，尽管Lebesgue积分具有不易计算的特点，但由于它装备了非常有效的收敛工具，所以使得Lebesgue积分成为理论研究的强大推动器。本文将从数学的内部机制来谈谈它们的演变。
1 什么是Riemann积分和Lebesgue积分
积分的思想是基于面积的考察。设f（x）≥0是一连续函数，则Riemann积分就是曲线y=f（x），x轴和两直线x=a，x=b所围区域的面积。1853年，Riemann对积分给出了严格的定义，人们通常称之为Riemann积分。
设[a，b]为一区间，若a=x0 令f（x）为[a，b]上的有界函数，称f（x）在区间[xi-1，xi]（xi-1，xi）∈P）上函数值的最大下界为下确界，记作mi（f）=inf{f（x）| x∈[xi-1，xi]}；称f（x）在区间[xi-1，xi]（xi-1，xi）∈P）上函数值的最小上界为上确界，记作Mi（f）=sup {f（x）| x∈[xi-1，xi]}. 把 （其中Δxk=xk-xk-1） 分别称为关于分划P的上Riemann和与下Riemann和，显然有m（b-a）≤s（P）≤S（P）≤M（b-a）. 其中M=sup{f（x）| x∈[a，b]，m=inf{f（x）| x∈[a，b]}，当分划P加细时，S（P）减少，s（P）增加。若令ΔP=max{Δ xi，i=1，2，…，n}，则由单调有界原理可知， ， 皆存在，分别称为上Riemann积分和下Riemann 积分，显然有s≤S；若S=s，则称f（x）在[a，b]上Riemann 可积，其S=s的值称为Riemann积分，记作 ，其近 似值 可用图1表示。 图1 近似值的曲线图 我们知道，连续函数、单调函数等这些常见的函数是黎曼可积的。但也有非常简单的函数它不是Riemann可积的，拿[0，1] 区间上的有理数集的特征函数 来说，显 然对任意[0，1]上的分划P有S（P）=1，S（P）=0.于是S=1， s=0，所以IQ∩[0，1]在[0，1]上非Riemann可积。 Lebesgue观察到，如果函数在区间上只有一个不连续点p， 于是可以构造一个新的分划 ，由于 f（x）在区间 上的振幅不超过M-m，而当n充分 大时，区间 的长度很小，所以上和与下和非常接 近。于是，若f只有有限个不连续点，则对该区间上任一很细的分划，上和与下和非常接近。但若f各处皆不连续（如上例），则上和与下和就不会接近。于是，Lebesgue从收集f（x）近似相等的值出发，放弃对区间[a，b]的分解，而考察f（x）在[a，b]上的上界M=sup{f（x）| x∈[a，b]}和下界m=inf {f（x）| x∈[a，b]}上的变化。 令T：m=y0 拿集合Ei={x∈[a，b]| yi≤f（x）≤yi+1}来说，如图2所示，Ei由4个区间组成。对一些函数来说，Ei可能由无限个区间组成。就连续函数而言，当自变量化很小时，函数值也变化很小，于是Ei起到在Riemann积分中区间[xi，xi+1]的作用。Lebesgue把Riemann积分中区间[xi，xi+1]的长度xi+1-xi用集合Ei的测度m（Ei）来代替。比如，图2中的m（Ei）是4个区间长度的和，如果Ei是无限个区间的并集，则m（Ei）是这无限个区间长度的和，这里和后面用m（A）表示集合A的Lebesgue测度。 图2 集合Ei={x∈[a，b]| yi≤f（x）≤yi+1 }的曲线图 由此，Lebesgue引入了可测集（如开集，区间皆为可测集）和可测函数（如单调函数，连续函数皆为可测函数）的有关概念（见参考文献[1]）。在此基础上，我们来考察有界可测函数的情形。令Aj={x| yj-1 定义 和 由于m（b-a）≤sT≤ST≤M（b-a），于是inf ST和sup sT皆为有限数。设T "∶m=y0 若令Bj={x| y 所以有ST≤ST "，类似地有ST "≤ST。得出如下结论： 若T" T，则sT "≤sT，ST "≤ST . （1） 由于sup sT和inf ST皆为有限，因而对任意正数ε存在[m，M]上的划分T1，T2，使得： （2） 结合（1）式，可设Tk={yi，k}，k=1，2，其中 现令 ，则有： 0≤ （3） 即 又 结合（1）式，有 ， 所以，由（2）式有： ， 即 （4） 于是，结合（3）式和（4）式有： 由ε的任意性有sup sT=inf ST. 因而Lebesgue把 的公共值称为Lebesgue积分，记作 ，其近似值 可用图2表示。 现令f（x）=IQ（x），x∈[0，1]，由于m（Q）=0，m（φ）=0，于是，对任一分划R∶0=y0 （[0，1]-Q）+ynm（Q）=0. 所以 因 而f（x）=IQ（x），x∈[0，1]是Lebesgue可积的。 一般地，设g为一简单函数，即 ，其中Aj， j=1，2，…，k为可测集，IAj为集Aj上的特征函数。则有： 参考文献[2]指出，若f（x）≥0为可测函数，则存在单调递增非负的简单函数列{Sn（x）}，它以f（x）为极限，从而导致上述Legesgue积分的定义与参考文献[2]定义相一致。即设f：[a，b]→R+是可测的，令Sf={g（x）| g（x）是简单函数，且0≤g（x）≤f（x）}，则f的Lebesgue积分定义为 . 若f不是非负的，记f +=max（f，0），f -=max（-f，0）， 则f=f +-f -，于是Lebesgue积分定义为 ，其中等式右边的两个积分皆存在。 由上述分析可知，若f（x）是[a，b]上有界可测函数，则f（x）是Lebesgue可积的。于是Lebesgue把有界函数的可积性推广到Lebesgue可测函数类。一般来说，Lebesgue积分理论都是从可测集、可测函数开始的，这增加了Lebesgue积分推广的难度。但参考文献[3]针对熟知Riemann积分的读者用很初等的方式建立了Lebesgue积分，使得Lebesgue积分很容易被大众所接受。 2 Riemann积分的困难与Lebesgue积分的优越性 在日常计算中，常常需要把极限运算和积分运算作交换，即考察lim∫与∫lim是否相等。拿Barie（1898年）函数Bn（x），x∈ [0，1]来说，Bn（x）定义为： 其中n=1，2，…，显然， 又（R） ，n=1，2，…，（R） 不存在，于 是 所以对非负的Riemann可积函数列，在一致有界的前提下，Riemann积分运算和极限运算不可交换，但对Lebesgue积分而言，若fn是一致有界的非负Lebesgue可积函数列，则有 因而在计算过程中，对Riemann可积函数列的极限我们需要考察其极限函数的可积性，但对Lebesgue可积函数列而言，我们不需要担心其极限函数的可积性，从而Lebesgue积分具有易于操作的特点。 函数空间是现代数学分析的中心概念，特别在现代偏微分方程中担任非常重要的角色，而空间的完备性在理论的研究中有非常重要的作用。拿Riemann函数空间R[a，b]（即区间[a，b]上的所有Riemann可积函数的全体）来说，我们知道，若f（x），g（x）∈[a，b]，则| f（x）-g（x）|的Riemann积分存在，那 么便可以在空间R[a，b]上定义距离：d（f，g）=（R） dx，f（x），g（x）∈R[a，b]. （5） 下面考察其完备性，为此我们来考察胖Cantor集的特征函数。胖Cantor集的构造类似于Cantor集，首先在区间[0，1]的中点 处，去除以 为中心，长度为 的一个开区间，余下的区 间记为C1即C1=[0，1]-（ ， ）=[0， ]∪[ ， 1]，然后对区间[0， ]和[ ，1]分别去除以其中点 和 为中心，长度为 的开区间，余下的区间记为C2，即： 如此对余下的小区间做上述同样的过程，直至无穷，即可得到胖Cantor集。具体来说，第k次的Ck是对Ck-1中的2k-1个小区间，分别去除以其对应的中点为中心、长度为5-k的开区间后，余下的2k个闭区间组成的。胖Cantor集C是这些Ck的交集，即 令 于 是 （6） 所以，对任意m，n∈N，不妨设n （7） 由（7）可知，函数列{fn（x）}是R[0，1]中关于距离（5）的柯西列，显然fn（x）→f（x），x∈[0，1]，n→∞.由于C中没有内点，没有孤立点，因而对x∈C的任一邻域，皆含有不是C中的点，故f（x）的不连续点集包含C。设开区间集{Ik，j，j =1，2，…，2k}， 表示区间Ikj的长度） 是从Ck中挖去的2k个开区间，则： 即C的测度大于0. Lebesgue指出，区间[a，b]上有界函数Riemann可积的充要条件是不连续点集是零测度集，故f（x）在[0，1]上不可积。由此可知，R[a，b]按距离（5）是不完备的。但对[a，b]上全体Lebesgue可积函数形成的空间L[a，b]来说，若定 义距离d（f，g）=（L） dx，f（x），g（x） ∈L[a，b]. （8） 则L[a，b]是完备的。 事实上，设{fn（x），n=1，2，…}是关于距离（8）的柯西列，令ε=2-j，j=1，2，…，于是可取{fkj（x），j=1，2，…} {fn（x），n=1，2，…}满足： （9） 令 ∈L[a，b]，i=1，2，… 则它们是单调递增的非负函数序列，由（9）式可得 所以由单调收敛定理有 ∈L[a，b]，且 类似地有： ∈L[a，b]，i=1，2，… ∈L[a，b]，且 若令f（x）=h（x）-g（x）+fk1（x），则有f（x）∈L[a，b]， 且满足 所以，fki+1（x）→f（x）a.e.x∈[a，b]，d（fki+1（x），f（x））→0. 又由于{fn（x）}是柯西列，于是有d（fn（x），f（x））→0，从而L[a，b]，是完备的。 若f∶[a，b]→R是有界的，则有s≤ ≤S，因而f是Riemann可积的，则f是 Lebesgue可积，且 故R[a，b] 是L[a，b]的子集。 对于非负函数而言，应用Lebesgue单调收敛定理，则其广义Riemann积分收敛必有Lebesgue积分收敛，且收敛值是一致的，因而它们有相应的子集关系。一般情况下的广义积分，子 集关系不一定正确，拿Dirichlet积分 来说，其广义黎 曼积分 收敛，但 .我们知 道，若函数f（x）是Lebesgue可积的，则其绝对值| f（x）|也是 Lebesgue可积的，因而 不存在。所以，去掉非负 这一条件，它们之间也就没有子集关系了。 正是由于Lebesgue积分的上述优点，使得在现代数学分析中把Lebesgue积分作为计算分析的主要工具。 3 结束语 积分概念起源于阿基米德（Archimedes）时代，但直到17世纪才出现积分概念严密化的需要。1853年，Riemann提出用Riemann和的极限来定义积分，使得积分理论趋于成熟。Lebesgue积分是Riemann积分的推广，Lebesgue观察到，可通过扩大可测集的范围来扩大需要定义其积分的函数范围。具体来说就是，当可测集中用可数无限复盖代替有限复盖，在此基础上推广了测度的概念。Lebesgue测度的主要优点在于，它是可数可加的，即如果 是一个两两互不相交的可测集合序列， 则它们的并集是可测的，且 借助于可加性，Legesgue证明了一个在闭区间上有界的函数是Riemann可积的，当且仅当它的间断点的集合的测度为0. Legesgue积分之所以有力，不仅是由于可积函数的范围大大扩充了，而且还由于应用这种积分很容易处理函数的极限过程。在Riemann积分的情况下，比较容易得到的结果只是当fn皆连续， 且函数列 一致连续时，若 fn（x）=f（x），x∈[a，b]， 则 （10）成立。但对于 许多应用来说，这些条件太强了。对于Lebesgue积分来说，只要fn是一致有界的，则（10）在Lebesgue积分意义下成立，这说明Lebesgue积分具有极好的收敛性。 参考文献[4]指出，对于很大的函数来说，微分和Lebesgue积分是互逆运算，若f是[a，b]上的有界可测函数，则最多 除了一个零测度集外， 处处成立。如果f 是一个有界可测函数，f（a）=0，它的导数f "在[a，b]上存 在且有界，则 . 这为牛顿和莱布尼茨在直观概念的基础上发现和广泛利用的微积分基本定理提供了一个明确而严格的表述。 参考文献 [1]May， K. O. Measure and the integral[M].1966：177-183. [2]Rudin，W.Real and Complex Analysis（Third Edition）[M].1987：5-32. [3]Gonzale-Velasco Erique A. The Lebesgue integral as a Riemann integral[J].1987，10（40）：693-706. [4]Wheeden， R. L. and Zygnumd， A. Measure and Integral [M].New York：Macel dekker，Inc，1977：83-123. [5]阿黑波夫，萨多夫尼奇.数学分析讲义[M].王昆扬，译.北京：高等教育出版社，2006：361-363. Evolution of the Concept of Integration Xu Ning Abstract： It is well known Lebesgue（Lebesgue）integral is Riemann（Riemann）integral promotion， but people rarely explain why it is important to promote and why it is a powerful weapon of pure and applied mathematicians. Compared with the Lebesgue integral Riemann integral， its importance reflected in at least two aspects： First， the two theories dominated convergence theorem， and the other is normed linear space completeness. Through some simple examples to illustrate these arguments and discussions. Key words： Riemann integral； Lebesgue integral； fat Cantor sets； evolution
