徐利治教授是我国著名的数学家、数学哲学家、数学教育家和数学方法论专家。他1945年毕业于西南联合大学，1949年赴英国亚贝丁与剑桥大学留学，回国后历任清华大学副教授、吉林大学教授、华中理工大学数学系主任、大连理工大学应用数学研究所所长和美国德克萨斯州A&M大学客座教授。徐利治教授是国内首批博士生导师，曾任国务院学位委员会委员、中国数学会组合与图论专业委员会主任和中国计算数学学会与运筹学会常务理事等职。他创办了《数学研究与评论》杂志，并曾担任多家有重要影响刊物的主编或名誉主编。
徐利治的研究涉及分析数学、组合数学、计算方法、数学基础和数学方法学等众多领域。辩证唯物观点和唯物数学史观是他进行数学研究和数学方法论研究的基本指导原则。他认为“没有方法和史学观点，就不能很好地理解数学，更难以说得上发明创造”。他坚信数学的源在客观世界，前人的成果只是数学的流，数学思想发展史是数学史的核心，并把它作为从事数学方法论研究的重要源泉。
徐利治无疑是20世纪后期在数学方法论方面给我们最多指导的数学家。他在其学术生涯中投入精力最多、最为重视的就是数学方法论的研究。他在我国最早倡导数学方法论的研究，并明确提出了“数学方法论”的概念(这在国内乃至世界上都是首次)，即“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问”， 从而将其上升为一门系统的科学，这是数学方法论发展史上的一个里程碑。
徐利治不仅开辟了数学方法论的许多研究领域，并做出了许多创造性的理论成果，还积极倡导数学方法论的应用研究。在他的提倡下，形成了以他为首的颇具中国特色的数学方法论研究集体，对数学和数学教育实践产生了重要影响。事实上，“徐利治所倡导的数学方法论研究被看作是促进我国20世纪80年代数学教育研究深入发展的最为重要的三大动力因素之一” 。值得一提的是，分别于20世纪50年代和80年代出版的《数学分析的方法及例题选讲》和《数学方法论选讲》两本著作，体现了他一贯强调的通过“做数学”的途径去搞数学方法论研究的思想，影响了我国整整几代的数学和数学教育工作者，对我国的数学和数学教育事业起到了巨大的推动作用。
徐利治不仅深刻把握了数学方法论的历史和现状，还具体预测了数学方法论未来发展的趋势和特征。比如，面对数学文献爆炸的混沌现象，他指出数学评估学、数学文献学将会从数学方法学中分离出来成为独立的学科，并且会产生精通数学思想发展史和数学方法论的数学评论家，从而很好地解决文献爆炸的矛盾。徐利治对数学方法论所作的精辟论述处处闪烁着数学战略家的智慧之光，无疑是我们一笔宝贵的思想财富。
1 关于数学抽象的研究
数学抽象不仅是徐利治展开数学本体论和数学真理观论述的基础，也是他展开数学方法论研究的源泉。在深入考察数学思想发展史的基础上，徐利治与其合作者提出了数学抽象的基本原则即强抽象法则和弱抽象法则，它们是建构量化模式的基本方法。在后来的论述中，徐利治又进一步提炼出另外三条被广泛运用的基本数学抽象原则即新元素添加完备化法则、关联对偶化法则和公理更新和谐化法则。
需要强调的是，公理更新和谐化法则的提出是徐利治对悖论进行深刻分析的一个直接结果，这就表明了关于无限问题的研究对其哲学思想形成的重要作用。显然，这些抽象法则不是任何个人的发明创造，而是抽象思维反映量化模式所必须遵循的客观规律，这就从内容和方法上都具体表明了数学的抽象特性。数学抽象法则的提出充分揭示了抽象思维能动性的具体形式，即数学科学中的大量数学模式都是经多次抽象过程交互作用的产物，这就在数学领域内具体阐明了列宁和爱因斯坦关于科学理论抽象多层次观点的正确性，也揭示了抽象思维产生的量化模式能兼具应用上的广泛性和深入性的根本原因。
以对数学抽象法则的定性分析为基础，徐利治开创了对数学抽象的定量研究。具体地说，他提出抽象度分析法，建立了三元指标(即相对抽象度、出度和入度)来具体刻画量化模式的抽象度，以评价量化模式的地位与价值。抽象度分析法的提出具有重要的意义，正如徐利治指出的：“结构主义思想加上抽象度分析方法就能对各个数学理论系统及其组成部件做出真正全面彻底的剖析。正是从这个意义上说，抽象度分析法就是结构主义思想的补充或者延伸。
徐利治进一步以抽象度分析法为工具对数学的真理性程度进行了量化。人们对具体数学问题认识的正确性程度或者说真理性程度，表明了人们的主观认识同客观真理之间的差距，即相对真理同绝对真理之间的差距。他提出用平均抽象度、模式真理度和现实真理度三元指标来刻画这种差距即数学的真理性程度。依据三元指标的量化公式，徐利治明确提出了数学模式的真理性是发展着的观点，这显然是其数学真理思想的重要内容，也极大丰富了辩证唯物主义的真理观。
2 提出RMI(即关系映射反演)方法和算法化
原则徐利治指出，数学对象的抽象特性决定了普遍性和深刻性是数学方法应具备的一个重要特征，也就是说数学方法论的研究对象应当是具有一定普遍性的思想模式。他依据上述原则通过深入考察数学思想发展史中的典型例子提出了RMI方法。RMI方法是化归原则在数学领域中的具体化与形式化，它充分反映了数学方法的特殊性，是数学方法论发展史上第一个真正具有数学特色的一般方法。RMI方法的提出显然有着坚实的哲学依据：即客观世界是普遍联系的，反映世界的不同量化模式(即关系结构)也是相互联系的，而映射正是不同量化模式相互联系的基本纽带。
RMI方法对于数学研究具有重要的指导意义，正如徐利治指出的：“谁能在两个重要的关系结构中构造出合适的映射，谁就能对数学做出比较重要的贡献。”事实上，他许多出色的数学成果正是应用RMI方法的典范(比如沟通连续与离散的普遍反演定理)，这同时也充分揭示了“通过‘做数学’的途径去搞数学方法论研究”的思想具有强大的生命力。徐利治凭借其卓越的洞察力预测了RMI方法的应用前景。他指出，针对各种已发现的很有价值的RMI方法可解问题类，去设计便于应用的RMI解算机，是一项极有意义的工作，这就深刻地揭示了RMI方法对于数学机械化乃至人工智能的重大启发价值。
算法化原则是徐利治提出的另外一种一般化的数学方法。他通过深入考察数学史上的典型例子，揭示了一种算法的形成往往标志着数学上的一次重大进步，算法在本质上就是具有一定普遍性和深刻性的思维模式，从而把算法从一种技艺性地位上升为一个方法原则。RMI解算机的理论设想就体现了他追求算法化的一种努力和尝试。
徐利治从认识论高度揭示了算法与创造性思维之间的辩证关系：各种算法都是抽象思维创造性活动的凝固与外化的产物，已形成的算法又为新的抽象思维创造性活动提供了具体的物质内容。数学的算法化不能代替数学中的创造性思维，恰恰相反，创造性的抽象思维才是数学活动的核心。由此，他明确反对诸如算法化就是数学教育的现代化等以偏概全的错误提法，并明确提出不能把数学学习简单地归结为算法的掌握，帮助学生学会数学地思维才是数学教育的真谛。
RN"IZ方法和算法化原则的提出，充分揭示了深入考察数学思想发展史是提炼数学方法的重要源泉和有效手段，也证实了没有数学史的数学哲学是空洞而苍白的。徐利治的相关工作就表明，他的数学哲学思想不是存在于虚幻的天堂，而是深深扎根于数学发展的历史长河和生动活泼的数学教育实践之中，从而数学的哲学、历史和教育三者有机的结合就是其哲学思想的一大特色。
3 对数学直觉和数学美的论述
(1） 徐利治揭示了数学美和数学直觉的客观性，并提出数学审美直觉原则。他指出，客观世界本身处在有规律、有秩序的普遍联系之中，其本身就具有种种优美的、和谐的、统一性的或是奇异性的结构规律，抽象量化模式作为对客观世界的反映也必然具有这样的一种美。在不同的量化模式上，便会显现出某种对称性、协调性、统一性和简洁性，这些便构成数学美的客观内容。他的论述显然表明了作为精神生产物的数学知识是符合美学原则的，从而在数学领域内证实了马克思的著名论断：人类社会的生产活动是按照“美学原则”进行的。
他认为数学直觉也是以坚实的数学实践为基础的，并对它进行了具体的区分(即关联直觉、辨识直觉和审美直觉)，这就表明了数学美和数学直觉在某种程度上具有统一性，从而他以数学美的客观内容为基础提出了数学审美直觉原则(即简单性原则、统一性原则、对称性原则和奇异性原则)。数学审美直觉原则表明在数学模式的探索、设计与建构的过程中，应当力求按照统一性、简单性和奇异性等审美标准去选择目标和方法。这实际上就赋予了数学美和数学直觉有一种双重地位，既是判定模式真理性的标准，也是提出和建构量化模式的重要方法。
(2) 徐利治指出，数学对象的抽象程度是有层次之分的，对不同抽象物的认识可以获得不同层次的数学直觉；数学美作为一种抽象的模式美，显然也具有层次性。他以抽象度分析法为工具对数学直觉和数学美的层次性进行了量化，这就使我们对量化模式可以建立五元指标(即相对抽象度、出度、入度、抽象难度和优美程度)来评价它们的价值与地位(即深刻性、重要性、基本性、困难性与优美性)，这事实上就表明了数学评估学的基本研究内容与研究方法。从而，徐利治的工作就把数学史上许多大数学家关于数学美和数学直觉的素朴论述升华到了一个理论高度，这对于思维科学、心理学和哲学的相关研究都具有重要的启发意义。
(3) 徐利治辩证地指出了数学美和数学直觉的重要意义。他充分肯定了数学直觉和数学美对认识真理(即提出和建构量化模式)具有重要作用，还强调了二者对数学教育的积极意义。他指出，数学美和数学直觉对于培养学生的创新精神与建模能力都是相当有益的。这些深邃的思想，显然对于我们现今的数学研究和数学教育活动仍然具有重要的指导意义。但徐利治并没有夸大二者的作用，他指出：“任何依靠数学直觉和数学美俘获来的战利晶都需要经过严格逻辑检验，并且最终经过客观实践的检验，才能成为真理宝库中的财富。”这就充分表明了数学直觉与数学美对于抽象思维和客观实践的最终依赖性，从而深刻揭示了二者的本质局限性。事实上，数学直觉、数学美以及抽象逻辑思维是相互补充、交互为用的，都是数学工作者进行量化模式发明、发现、选择与建构的武器，它们都要接受实践的最终检验。
参考文献
1 徐利治．论数学方法学。山东教育出版社，2001
2 郑毓信等．数学思维与数学方法论．四川教育出版社，2001
3 徐利治。数学方法论选讲。华中工学院出版社，1983
4 徐利治，郑毓信。数学抽象方法与抽象度分析法。江苏教育出版社，1990
