两动一定最小值问题方老师8篇

两动一定最小值问题方老师8篇两动一定最小值问题方老师　6—3lD数学数学2018年第6期圆上动点到两定点距离线性和的最小值问题于学明李世臣(1．河南省商水县希望中学，河南商水4下面是小编为大家整理的两动一定最小值问题方老师8篇,供大家参考。

篇一：两动一定最小值问题方老师

mdash;3l D 数学 数 学 2018年第 6期 圆上动点到两定点距 离线性和 的最小值 问题 于学明 李世 臣 (1．河南省商水县希望中学，河南 商水 466100； 2．河南省周口市川汇区教体局教研室，河南 周 口 466001) 设动 点 P和两定点 A、B，我们不妨称 PA+AP日为点P到两定点A、B距离的线性和．

　当A=1，P点在一条定直线上移动时，两 定点A、 在这条定直线的同侧 ，求PA+P 的 最小值问题是典型的将军饮马问题，通常利用 对称变换 ，将同侧化异侧 ，然后利用“两点间线 段最短”原理进行判断．

　当 A≠1，P点在一个确定的圆弧上移动 时，两定点A、B同在这个定圆的内部或外部， 怎样求 PA+APB的最小值呢?研究发现，可通 过构造相似三角形 ，利用线段 比实现不等系数 线段和向相等系数线段和的转化，把同在圆内 或圆外的两定点转化为一个圆内定点和一个 圆外定点 ，然后应用线段最短原理解决问题．

　例 l 如图 1，线段 AB的两端点分别在两 条坐标轴的正半轴上滑动，中点为 M，若 AB = 8，C(8，0)，D(5，4)，则 CM +2MD的最小 值为 — —． 解析：连结OM，因为 ZAOB：9oo，AM = ， AB =8，所以OM =4，点M的轨迹是以原点 0 为圆心，半径长为4的圆在第一象限内的圆弧．

　在线 段 OC上 取 点 E，使 得 ／OME ：

　／OCM，则 AOME— AOCM．

　图 1 所以 = = ．又因为 OC =8， OM =4，所以 OE =2，MC =2ME．

　因此 E(2，O)，CM +2MD = 2(ME + MD)≥ 2DE，当点 在线段 DE上时，等号 成立． 因为 DE = √(5—2) +4 =5，所以 CM +2MD的最小值为 l0．

　例 2 如 图2，在矩形 ABCD中，AB =6， BC=8，以点 B为圆心 、BC为半径画圆弧 ，交 BA的延长线于点 E，点 P在弧 EC上，连结 PA， PD．

　、 尸 — —

　7 ～ ， ／ D 图 2 求 5PA+3PD的最小值．

　解析 ：连结 P日、BD，则 P曰 ：

　8，BD = 10．

　在线 段 BD 上 取 点 ，，使 得 LBPF = ／ _．_BDP，连结 PF，则 ABPF ABDP．

　因为嚣=器= ，所以 = ，

　PD = pF． 河南省2017年农村学校应用性教育科研课题《基于Geogebra软件的数学教学实验研究》(项 目编号：17一HJYY 525)阶段性研 究成果．

　2018年第 6期 数 学教 学 6—3l 在 线 段 BE 的 延 长 线 上 取 点 G，使 得 LBPG=／_BAP，连结PG，则 ABPG △ 因为 BG=B 丽P= PG， 所以曰G=了32， =

　G．

　N~spa+3PD=竽(PF+pc)≥竽GF，

　当 G、P、F三点共线时，等号成立． ig~ CF，因为 =了3 =历 CD，LFBG = LCDB，所 以 ／XBFG一 ／XDCB．

　于是 FG = DCB =90o．故 128 —

　15’

　9~ SPA+3PD≥ 15×百 128=32． 即，5PA+3PD的最小值是 32． 例 3 如图3，半圆oD的直径 AB =4，点 C在半圆弧上移动 ，AC：AD， CAD=90。，连 结 DO、DB，求 DB+ DD的最小值．

　图 3 解析 ：连结 CD，延长 CD交QO于点 E，连 结 EO．

　因为 AC =AD， CAD =90。， 所 以 LACD= ADC=45。． 因此 LAOE =90。，LADE =135。．

　以AO、OE为边 ，作正方形 AOEF，则点 D 在以点 F为圆心，半径为 2的圆弧上运动．

　连结船 ，则FB=√ +A =2 ．

　连结 FD，在 AFBD的内部，作 LFDG = FBD，交 FB于点 G，则 △FDG △FBD． 所以D 塑 G= = ．于是 D =,／gco．

　从而 D +√5D0 = √5(GD +00)≥ GO，当 G、D、0共线时，等号成立．

　连结 AG，因为 FA = FD = FG ·FB， AFG = BFA，所 以 △FAG ／XFBA．

　因此 LFGA = FAB =90。．于是点 G恰 好在 oO上．从而 GO=2． 故 DB+ DO的最小值是 2,8．

　例 4 如图4，在边长为 2,g的等边 ／xABC 中，点 D为 AC的中点 ，动点 P在 AABC内，连 结 PA、PB、PC、PD， PAB = LPBC，求 PC+2PD的最小值． A B C 图4 解析：在 等边 AABC中，因为 LPAB = LPBC，所 以 PA + LPBA ：

　PBC + 删 = LABC = 60。． LAPB = 120。．

　则点 P在以 AB为弦 ，圆周角为 120。的圆 弧上．

　设圆弧的圆心为 O，连结 OC，交 AB于点 E，则点 E是 AB的中点，连结 OP、OB． 因为 BC=2,／X，易知 OP：OB：2，OE= 1， OC = 4．

　Y．N~uo，c= = 2， LPOC = L EOP， 所 以 ／X0CP ／x OPE．

　从而 面 PC= =2， 即 Pc =2阳 ．

　连结 ED，易知 ED是 AABC的中位线，所 以 2ED =BC =2 ．

　从 而 PC +2PD =2(PE+肋 )≥ 2ED = 2,g，当点 P在线段 ED上时，等号成立．

　即 PC+2PD的最小值是 24g． 例 5 如图 5，在 ／xABC中，

　A =90。， AB =AC=4，点 D、E分别是 AB、AC的中点． 若 AADE绕点A逆时针旋转 ，得到 ／XAFG，记直 线 F与 CG的交点为P．连结PD、船 ，求PD+

　6一 数学 教 学 2018年第 6期 船 的最小值． C G 图 5 解析：如图 5，在ABAF和ACAG中，因为 AB =AC，AF =AG， LBAF = 90。+ CAF = ／CAG，所 以 ABAF— t ． fa ACAG，从 而 ／_ABP = ACP． P C + PCB = (45。一 LABP) + (45。+LACP)=90。，所 以 LBPC =90。．

　设 BC的 中点为 0，连结 PO，则 PO = ÷Bc=2√2．

　点 P在以0为圆心、2 为半径的圆弧上． 连结 DE，则 DE=÷AB=2．

　在射 线 OE 上 取 点 日，使 得 AOPE 一 oHP． 则 ：器：

　，得OH：4，胁 ：

　oH PH oP ’、⋯ PH．

　肋 +4" 2PE =肋 +朋 ≥ DH， 当P在线段 DH上时，等号成立．

　易知 DH = E +D =2 ，所 以 PD+ PE的最小值是 243． 例 6 如图6，点 P在边长为4的正方形 图 6 ABCD中，且 APBA=LPCB，点E在BC边上， BE =3EC，求 PA+2 P 的最小值．

　解析 ：如图6，因为 P鲋 =LPCB，所以 PBC+LPCB=LPBC+LPBA=90。．因此 点 P在以BC为直径的圆在正方形 ABCD内的 圆弧上．

　设 BC中点为 0，连结 PO，易知AO=2,3．

　因为 BE =3EC，所 以 OE =1． 在 BC的延长线上 取点 G，使 AOGP oPE． 于是 ， = = ，得 DG=4，PE OP OE = J E’ 一 一PE’ l哥uu一 ’

　一 2 ~--pG． 连结 AO，在 AO上取点 F，使 △OPF— A OAP． 因此 = = ，得 OF = ， PA = PF．

　从而 PA +2 PE = (PF+PG)≥ FG，当点 P在线段 FG上时，等号成立． 作 朋 j- c于点日测 FH= = ， 得 FH=÷，DH= ．

　因为 HG =0H +OG = ，所 以 FG = √F评 +HG =2 ． 即 PA+2,5PE的最小值等于√SFG=10．

　例 7 已知 oD的半径为 a，圆外一点 A， OA = b．

　(1)问题 发现 如图7(1)，过点A作o0的切线 AP，切点 为 P，过点 P作 PB J_OA于点 B．填空 ：

　图 7(1)

　2018年第 6期 数 学教 学 6一船 (i)OB= ；(ii) PB= (用含 a、b的代数式表示) (2)拓展探究 如图 7(2)，点 P是 6)0上任意一点 ，连结 PA、PO，在 OA上取点 ，使得 OPB = LA， 连结船 ．(1)中的结论还成立吗?请说明理由． 图 7(3) 解析：(1)(i

　a，(ii)詈．

　(2)成立．因为 OPB=LA，LPOB = LAOP，所 以 APOB— AAOP． 因此 PB = OB = OP， 即 PB ：

　OB = a．从 2 a 而 OB = a， PB=

　． (3)6 ，P(1(5—2-)，丢(5一 ))．

　提示 ：如图 8，易知 C(2，3)．在 CB上取 点 D，使 CPD= CBP，则 APCD ABCP． ‘H CD CP PD 』 一 一 一

　CP — CB — PB‘ 所 以 CD = 1，PB =2PD．

　图 8 因此 D(3，3)，OD =3 ． 2PO+P =2(PO+肋 )≥20D=6]2， 当点 P在线段 OD上时，等号成立．此时 ，设点 P(m，m)．

　由勾股定理 ，得 (2一m) +(3一m) ：

　2 ，即 2m 一lOm +9：0． 解得m=÷(5—2 -)，另一解m=÷(5+ )，不符合要求舍去．

　所以，此时有P(1(5—2 -)，

　(5一 )1．

　例 8 如图9，弧 AB和弧 CD以LMON的 顶点 0为圆心 ，端点在角的两条边上 ，动点 G、 日分别在两条弧上 ，且直线 GH经过顶点 0，点 E、F为 两 边 上 的定 点．若 LMON =45。， OA=4，OC =6，OE =8，OF =2 ，求 HE+2 FG的最小值． D R A C E M 图 9 解析：在 OM 边 上取点 R，使 AOEH — AOGR，则 HE = OH = OE． 因为 OG=OA=4，OH=OC=6，OE= 8，所 以 OR =3，HE =2GR．

　6一, 34 ／K- " 3"教学 2018年第 6期 在 ON边上取点 s，使 AOFG AOGS，则 FG 0G OF FG 4 2,／2 GS — OS — OG’ GS — OS 一 4 ‘ 因此 OS=4 ，GF = GJ s． 则 HE+24" 2FG=2GR+2 ×等GS =2(GR+G| s)≥ 2RS，

　当点 G在线段 RS上时，等号成立．

　因为 ／MON=45。，所以R． s=~／l +4 = ． 即HE+24YFG的最小值为2 l7．

　以上 各 例 涉 及 到 一 个 重 要 的几 何 问 题——阿波罗尼斯 圆．AB为平面内的定长线 段 ，尸为一个动点 ，满足 两 PA =A(A≠ 1)， 则点 P的轨迹是一个圆．这个圆直径的两端是按定 比A内分 AB和外分 AB所得的两个分点．如图 lO，M为 AB的内分点，』、r为 AB的外分点．若 A M= =A(A≠1)，则以删 为直径的 oD 就是动点 P的轨迹． 图 10 这是著名的阿波罗尼斯 (Apollonius)轨迹 定理．以 MN为直径的o0叫做阿波罗尼斯圆， 简称阿氏圆．阿氏圆有如下性质：

　在线段 AB关于定 比A(A≠ 1)的阿氏圆 上任意一点 ，到A、B两点距离的比都等于定比 A．即若点 P在阿氏圆上，则 =A．此时，必有 J P 平分 ／_APB、PⅣ平分 ／ ___APB的外角． 阿氏圆的性质与阿波罗尼斯轨迹定理是 一 组互逆命题，其两大特征是：A M = = PA= = OP和 上 PⅣ．

　、 曰、 、Ⅳ为以点 A、 为基点 ，点 M、 Ⅳ为内、外分点，A为分比的调和点列．

　阿波罗尼斯定理为解决 +AP 的最小 值问题提供 了依据和方法，当我们遇到 + AP 型问题的时候，首先探寻动点 P的轨迹， 若点 P的轨迹是圆就把它作为阿氏圆，确定半 径 r和圆心 0．

　若 OA =AOP，在直线 探究点 A ，使 AOPA AOA P测 = PA = ∽ ，则 A，得 APA ，所 以 PA+APB=A( +朋 )≥AA B； 若 OP =AOB，在直线 OB探究点 ，使 P AOPB AOB P测 = =÷：

　∽ ，则 ，得船 ÷PB ，既＼ PA+ PB=PA+PB ≥AB r． 需注意的是，模型 PA+APB中的常数A的 值不是任意确定 的，它必须满足 =A或 OB= 1方可应用以上方法求解， 这种局 限性 更充分说明阿波罗尼斯轨迹定理的美妙之极．

　参考文献 [1]陈明儒．构造三角形模型求解线段最 值难题[J]．中学数学杂志，2016(4)：44—45．

　[2]李发勇．探究“a+硒 型”线段和最小 值问题[J]．中学数学教学 ，2017(3)：55—57．

　[3]黄全福．利用阿波罗尼斯圆解竞赛题 [J]．中等数学，2010(2)：5—9．

篇二：两动一定最小值问题方老师

20 年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题

　专题一

　将军饮马 中 两定一动模型与最值问题 【专题说明】

　这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。

　1、如图，在 中， ， 是 的两条中线，是 上一个动点，则下列线段的长度等于 最小值的是（ ）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】B 【详解】

　在 中， ，AD 是 的中线，可得点 B 和点 D 关于直线 AD 对称，连结 CE，交 AD 于点 P，此时 最小，为 EC 的长，故选 B. 2、如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE＝2，AB＝8，P 是 AC 上一动点，则 PB+PE 的最小值_____．

　【答案】10 【详解】

　解：如图：

　连接 DE 交 AC 于点 P，此时 PD＝PB， PB+PE＝PD+PE＝DE 为其最小值， ∵四边形 ABCD 为正方形，且 BE＝2，AB＝8，

　∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，

　在 Rt△ ADE 中，根据勾股定理，得 DE＝2 2AD AE 

　＝2 28 6 

　＝10． ∴PB+PE 的最小值为 10． 故答案为 10． 3、如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 BC 交 x 轴于点 D ， AD x  轴，反比例函数 ( 0)ky xx 的图象经过点 A ，点 D 的坐标为 (3,0) ， AB BD  ． （1）求反比例函数的解析式； （2）点 P 为 y 轴上一动点，当 PA PB  的值最小时，求出点 P 的坐标．

　 【答案】（1）9yx ；（2）12(0, )5 【详解】

　解：（1）∵ OABC 是矩形， ∴90 B OAB  ， ∵ AB DB  ， ∴45 BAD ADB  ， ∴45 OAD  ， 又∵ AD x  轴， ∴45 OAD DOA  ， ∴ OD AD  ， ∵ (3,0) D

　∴ 3 OD AD   ，即 (3,3) A

　把点 (3,3) A 代入的kyx 得， 9 k 

　∴反比例函数的解析式为：9yx ． 答：反比例函数的解析式为：9yx ．

　（2）过点 B 作 BE AD  垂足为 E ， ∵90 B  ∠， AB BD  ， BE AD 

　∴1 32 2AE ED AD    ， ∴3 932 2OD BE     ， ∴9 3( , )2 2B ， 则点 B 关于 y 轴的对称点19 3( , )2 2B  ，直线1AB 与 y 轴的交点就是所求点 P ，此时 PAPB  最小， 设直线 AB 1 的关系式为 y kx b   ，将 (3,3) A ,19 3( , )2 2B  ，代入得， 3 39 32 2k bk    

　 解得：15k  ，125b  ， ∴直线1AB 的关系式为1 125 5y x   ， 当 0 x  时，125y  ， ∴点12(0, )5P

　答：点 P 的坐标为12(0, )5．

　4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2 +2x+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0）B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点．

　（1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式； （2）请在 y 轴上找一点 M，使△ BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

　【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣x 2 +2x+3；直线 AC 的解析式为 y=3x+3；（2）点 M 的坐标为（0，3）； （3）符合条件的点 P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）， 【详解】

　解：（1）设抛物线解析式为 y=a（x+1）（x﹣3）， 即 y=ax 2 ﹣2ax﹣3a， ∴﹣2a=2，解得 a=﹣1， ∴抛物线解析式为 y=﹣x 2 +2x+3； 当 x=0 时，y=﹣x 2 +2x+3=3，则 C（0，3）， 设直线 AC 的解析式为 y=px+q， 把 A（﹣1，0），C（0，3）代入得03p qq   ，解得33pq ， ∴直线 AC 的解析式为 y=3x+3； （2）∵y=﹣x 2 +2x+3=﹣（x﹣1）

　2 +4， ∴顶点 D 的坐标为（1，4）， 作 B 点关于 y 轴的对称点 B′，连接 DB′交 y 轴于 M，如图 1，则 B′（﹣3，0），

　∵MB=MB′， ∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时 MB+MD 的值最小， 而 BD 的值不变， ∴此时△ BDM 的周长最小， 易得直线 DB′的解析式为 y=x+3，

　当 x=0 时，y=x+3=3， ∴点 M 的坐标为（0，3）； （3）存在． 过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，如图 2，

　∵直线 AC 的解析式为 y=3x+3， ∴直线 PC 的解析式可设为 y=﹣13x+b， 把 C（0，3）代入得 b=3， ∴直线 PC 的解析式为 y=﹣13x+3， 解方程组22 3133y x xy x    ＝＝，解得03xy 或73209xy ，则此时 P 点坐标为（73，209）； 过点 A 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，直线 PC 的解析式可设为 y=﹣ x+b， 把 A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得 b=﹣13， ∴直线 PC 的解析式为 y=﹣13x﹣13， 解方程组22 31 13 3y x xy x    ＝＝，解得10xy  或103139xy  ，则此时 P 点坐标为（103，﹣139）.

　综上所述，符合条件的点 P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）. 5、如图 1（注：与图 2 完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点 0 (1 ) A ， , (50) B ， , 4 (0 ) C ， ．

　 （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）

　P 是抛物线对称轴上的一点，求满足 PA PC  的值为最小的点 P 坐标（请在图 1 中探索）； （3）在第四象限的抛物线上是否存在点 E ，使四边形 OEBF 是以 OB 为对角线且面积为 12 的平行四边形？若存在，请求出点 E 坐标，若不存在请说明理由.（请在图 2 中探索）

　【答案】（1）2545442y x x   ＝ ，函数的对称轴为：

　3 x＝ ；（2）点8(3 )5P ， ；（3）存在，点 E 的坐标为12(2, )5-或12, )5(4 - ． 【详解】

　解：

　1 （）

　根据点 0 (1 ) A ， , (50) B ， 的坐标设二次函数表达式为：

　    21 5 6 5 y a x x a x x   ＝ ﹣ ＝ ， ∵抛物线经过点 4 (0 ) C ， ， 则 5 4 a＝ ，解得：45a＝ ， 抛物线的表达式为：

　   22 24 4 16 46 5 3 45 5 5 5245y x x x x x       ＝ = ＝

　， 函数的对称轴为：

　3 x＝ ； 2 （ ）

　连接 B C 、 交对称轴于点 P ，此时 PA PC  的值为最小，

　设 BC 的解析式为：

　y kx b  ＝ ， 将点 B C 、 的坐标代入一次函数表达式：

　y kx b  ＝ 得：0 5,4k bb  

　解得：4, 54kb  直线 BC 的表达式为：4y x 45   ， 当 3 x＝ 时，85y＝ ， 故点835P （ ，）

　；

　3 （）

　存在，理由：

　四边形 OEBF 是以 OB 为对角线且面积为 12 的平行四边形， 则 5 12E E OEBFS OB y y  四边形＝ ＝ ＝

　， 点 E 在第四象限，故：则125Ey ＝- ， 将该坐标代入二次函数表达式得：

　 24 126 55 5y x x   ＝ ＝- ， 解得：

　2 x＝ 或 4 ， 故点 E 的坐标为122,5（ - ）

　或12,5（4 - ）

　．

篇三：两动一定最小值问题方老师

识引入 如图，已知动点P 在直线L 上运动，点M 、N 在直线两侧，求|PM|+|PN| 的最小值 分析：根据三角形两边之和大于

　第三边易知，当且仅当P P 、M M 、N N

　三点共线时 |PM|+|PN| 取最小值

　为 为|MN| 例：直线L ：y=x ，点M(1,3) 、点N(2,1) 在直线两侧，求|PM|+|PN| 的最小值 答案：5

　思考：当 当M 、N 在直线L 同侧时又该如何 ？

　答案：5 结论：在平面中，直线上动点 与异侧两定点距离和有最小值， 当且仅当三点共线取得最小值，最小值为两定点 间的距离

　 当定点为同侧时，先做出其中一点的对称点， 再利用三点共线求最小值 比如把点M 改为（3,1 ）

　理论迁移— 空间几何 探究：

　这也是直线上的动点与两定点距离和最小值问题， 是否能将空间问题转化为平面问题 ？

　分析：

　理论迁移— 空间几何

　理论迁移— 空间几何

　理论迁移— 空间几何 答案：

　74变式：蚂蚁爬行问题

　理论迁移— 圆锥曲线 如图，已知抛物线：y 2 =4x 上动点P ，焦点为F, 点 点M(3,2), 求|PM|+|PF| 的最小值 探究：

　如果把抛物线看成直线，就变成直线上的动点与同侧两定点距离和最小值问题， 如何将同侧关系转化为异侧关系 ？

　理论迁移— 圆锥曲线 如图，已知抛物线：y 2 =4x 上动点P ，焦点为F, 点 点M(3,2), 求|PM|+|PF| 的最小值 分析：

　如图，利用抛物线定义，可以将焦半径|PF| 转化为|PH| ，故最小值为点 点M 到准线的距离 答案：4

　理论迁移— 圆锥曲线 变式：

　如图，已知抛物线：y 2 =4x 上动点P ，过P 点作x=-1 的垂线段为PH, 点M(2,4),求 求|PM|+|PH| 的最小值 答案：

　17

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篇四：两动一定最小值问题方老师

上一动点到两定点距离之和最小问题

　 如何求直线上一动点 p 到（同侧）

　两定点距离之和的最小值

　 例题讲解

　 1、 平面直角坐标系内有 A（2， -1）

　， B（3， 3）

　两点， 点 P 是 y 轴上一动点， 求：

　（1）

　P 到 A、 B 距离之和最小时的坐标；

　（2）

　P 到 A、 B 距离之和的最小值；

　（3）

　三角形 PAB 的周长的最小值。

　例 2、 正方形 ABCD 的边长为 8， 点 M 在 CD 上且 DM=2， 动点 N 在对角线 AC 上， 则 DN+MN的最小值是多少？

　 1

　 例 3． （2009， 深圳）

　如图， 在直角坐标系中， 点 A 的坐标为（－2， 0）

　， 连结 OA， 将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120° ， 得到线段 OB.

　（1）

　求点 B 的坐标；

　（2）

　求经过 A、 O、 B 三点的抛物线的解析式；

　（3）

　在（2）

　中抛物线的对称轴上是否存在点 C， 使△BOC 的周长最小？ 若存在， 求出点 C 的坐标和 △BOC 的最小周长； 若不存在， 请说明理由.

　 巩固提高

　 1、 在边长为 2 ㎝的正方形 ABCD 中， 点 Q 为 BC 边的中点， 点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、 PQ，

　则△PBQ 周长的最小值为____________㎝。

　△ABE 是等边三角形， 2、 如图所示， 正方形 ABCD 的面积为 12， 点 E 在正方形 ABCD内， 在对角线 AC

　 上有一点 P， 使 PD　PE 的和最小， 则这个最小值为（ ）

　D

　 A

　．

　B

　．

　C． 3 D

　E

　 C 3、 已知直角梯形 ABCD 中， AD∥BC， AB⊥BC， AD=2， BC=DC=5， 点 P 在 BC 上移动， 则当 PA+PD 取 最小值时， △APD 中边 AP 上的高为（ ）

　A、 217 B、 48C、

　D、 3 1717

　 2

　4、 （2008， 荆门）

　如图， 菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8， 点 P 是对角线 AC 上的一个动点， 点 M、 N 分别 是边 AB、 BC 的中点， 则 PM+PN 的最小值是 。

　05、 （2009， 南通）

　如图， MN 是 O 的直径， MN=2， 点 A 在 O 上， ∠AMN=30， B 为弧 AN的中点， P 是直径 MN 上的一

　 个动点， 则 PA+PB 的最小值是 。

　6、 如图， 在△ABC 中， AC＝BC＝2， ∠ACB＝90° ， D 是 BC 边的中点， E 是 AB 边上一动点， 则 EC＋ ED 的最小值为_______。

　7、 如图， 在锐角△ABC 中， AB＝42， ∠BAC＝45° ， ∠BAC 的平分线交 BC 于点 D， M、 N分别是 AD 和 AB 上的动点， 则 BM+MN 的最小值是____．

　8、 一次函数 y　kx　b 的图象与 x、 y 轴分别交于点 A（2， 0）

　， B（0， 4）

　．

　（1）

　求该函数的解析式；

　（2）

　O 为坐标原点， 设 OA、 AB 的中点分别为 C、 D， P 为 OB 上一动点，

　求 PC＋PD 的最小值， 并求取得最小值时 P 点坐标．

　9、 已知：

　抛物线的对称轴为 x=－1， 与 x 轴交于 A， B 两点， 与 y 轴交于点 C， 其中A　　3， 0　、 C　0， 　2　．

　（1）

　求这条抛物线的函数表达式．

　（2）

　已知在对称轴上存在一点 P， 使得△PBC 的周长最小． 请求出点 P 的坐标和此时△PBC 的周长．

　3

　10、 如图， 在矩形 OABC 中， 已知 A、 C 两点的坐标分别为 A(4， 、 0) C(0， 2) ， D 为 OA的中点． 设点 P 是　AOC 平分线上的一个动点（不与点 O 重合）

　．

　（1）

　试证明：

　无论点 P 运动到何处， PC 总与 PD 相等；

　（2）

　当点 P 运动到与点 B 的距离最小时， 试确定过 O、 P、 D 三点的抛物线的解析式；

　（3）

　设点 E 是（2）

　中所确定抛物线的顶点， 当点 P 运动到何处时， △PDE 的周长最小？ 求出此时点 P 的坐标和△PDE 的周长；

　C

　 4

　 作 业

　 ︵1、 已知⊙O 的直径 CD 为 4， ∠AOD 的度数为 60° ， 点 B 是 AD 的中点， 在直径 CD 上找一点 P， 使 BP+AP

　 的值最小， 且 BP+AP 的最小值

　 1 题图 2 题图 2 题图

　 2、 如图， 点 P 关于 OA、 OB 的对称点分别为 C、 D， 连接 CD， 交 OA 于 M， 交 OB 于 N， 若CD＝18cm， 则△PMN 的周长为________。

　3、 已知， 如图 DE 是△ABC 的边 AB 的垂直平分线， D 为垂足， DE 交 BC 于 E， 且 AC＝5，BC＝8， 则 △AEC 的周长为__________。

　4、 已知， 如图， 在△ABC 中， AB＜AC， BC 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D， 交 AC 于点 E， AC＝ 8， △ABE 的周长为 14， 则 AB 的长

　 4 题图 5 题图

　 5、 如图， 在△ABC 中， AB 的垂直平分线交 AC 于 D， 若 AC＝5cm， BC＝4cm， 则△BDC 的周长为________．

　6、 （1）

　如图 1， 等腰 Rt△ABC 的直角边长为 2， E 是斜边 AB 的中点， P 是 AC 边上的一动点， 则 PB+PE 的最小值为

　 （2）

　几何拓展：

　如图 2， △ABC 中， AB=2， ∠BAC=30° ， 若在 AC、 AB 上各取一点 M、N， 使 BM+MN 的值最小， 则这个最小值

　 7、 如图， 已知∠AOB 内有一点 P， 试分别在边 OA 和 OB 上各找一点 E、 F， 使得△PEF 的周长最小。

　试 画出图形， 并说明理由。

　5

　 8、 如图， 在直角梯形 ABCD 中， ∠ABC＝90° ， AD∥BC， AD＝4， AB＝5， BC＝6， 点 P 是AB 上一个动 点， 当 PC＋PD 的和最小时， PB 的长为__________．

　9、 （温州中考）

　如图， AB 是⊙O 的直径， AB=2， OC 是⊙O 的半径， OC⊥AB， 点 D 在 AC 上, AD=2CD， 点 P 是 半径 OC 上一个动点， 那么 AP+PD 的最小值是 .

　D

　 C

　 B

　 10、 如图， 正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 AB 的中点， P 是 AC 上一动点． 则 PB+PE 的最小值是．

　第 10 题 第 11 题

　11、 已知 A(－2， 3) ， B(3， 1) ， P 点在 x 轴上， 若 PA＋PB 长度最小， 则最小值为

　 12、 已知在对抛物线的对称轴上存在一点 P， 使得△PBC 的周长最小， 请求出点 P 的坐标和△PBC 的周长。

　6

　hpwELT! -6d ltAIPX* 2ahpxEMT!+6eltBIQX*3aipx EMU!+6emtBIQ Y*3aiqxFMU$+7emuBJQY(3bi qxFNU $+7fmuB JRY(3bjqyFNV$07fnuCJRZ(4 bjqyG NV$08fn uCKRZ(4cjryGOV%08gnvCKSZ ) 4ckr zGOV%18 gnvDKSZ) 5ckrzHOW%19govDL S#) 5d kszHOW& 19gowDLS#-5dksAHPW&29how ELT#- 6dlsAHP X&29hpwELT!-6dltAIPX*2ah pxEMT !+6eltB IQX*2aipxEM U ! +6emtBIQY*3 aiqxF MU$+7em uBJQY*3biqx F NU$+7fmuBJRY (3bjq yFNV$07 fnuCJRY(4bjqyGNV$08fnuCK RZ(4cjryGOV% 08gnvCKSZ) 4cjrzGOV%18gnv DKSZ)5ckrzHO W%19govDLS#) 5ckszHOW&19g owDLS#-5dksA HPW&29howELT#-5dlsAHPX&2 9hpwELT!-6dl tAIPX* 2ahpxEMT! +6eltAIQ X*2aipxEMU!+ 6emtBIQY*3aiqxFMU$+7emtB JQY*3biqxFNU $+7fmuBJRY(3bjqyFNV$07fm uCJRY( 4bjqyG NV$08fnuCKRZ(4cjryGOV%08 fnvCKRZ) 4cjr zGOV%18gnvDKSZ) 5ckrzHOW% 19govDK S#) 5c kszHOW&19gowDLS#-5dksAHP W&29ho wDLT#- 5dlsAHPX&29hpwELT! -6dltA IPX*2a hpwEMT !-6eltAIQX*2aipxEMU!+6em tBIQY* 3aiqxF MU!+7emtBJQY*3biqxFNU$+7 fmuBJR Y(3bjq yFNU$07fmuCJRY(4bjqyGNV$ 08fnuC KRZ(4c jryGNV%08fnvCKRZ) 4cjrzGO V%18gnv DKSZ) 5ckrzHOW%18govDKS#) 5cksz HOW&19g owDLS #-5dksAHPW&19howDLT#-5dl sAHPX&29hpwE LT!-6dltAIPX & 2ahpwEMT!-6 eltAIQX*2aipxEMU!+6emtB IQY*3aipxFMU !+7emtBJ QY*3 biqxFNU$+7fm u BJRY(3biqyF NU$07fmu CJRY (4bjqyGNV$08 f nuCKRZ(4bjr yGNV%08fnvCK RZ) 4cjrzGOV% 18gnvDKSZ) 4c krzGOW%18gov DKS#) 5ckszHO W& 19gowDLS#- 5dkszHP T!-6d ltAIPX*2ahpx E MT!+6eltBIQ X*2aipxE MU!+ 6emtBIQY*3ai q xFMU$+7emuB JQY*3biqxFNU $+7fmuBJRY(3 bjqyFNV$07fn uCJRZ(4bjqyG NV$08fnuCKRZ ( 4cjryGOV%08 gnvCKSZ)4cjr zGOV%18gnvDK SZ ) 5ckrzHOW% 19govDLS#) 5c kszHOW&19gow D LS#-5dksAHP W&29howE LT#- 6dlsAHPX&29h p wELT!-6dltA IPX*2ah pxEMT !+6eltAIQX*2 aipxEMU! +6em tBIQY*3aiqxF MU$+7emtBJQY * 3biqx FNU$+7fmuBJRY (3bj qyFNV$07fnuC JR Y(4bjqyGNV $08fnuCK RZ(4 cjryGOV%08gn vC KRZ) 4cjrzG OV%18gnvD KSZ ) 5ckrzHOW%19 govDKS#) 5cks zHOW&19go wDL S#-5dksAHPW& 29howDLT#-5d lsAHPX&29hpw ELT!-6dltAIP X* 2ahpxEMT! -6eltAIQX*2aipxEMU ! +6emtBIQY*3aiqxFMU!+7em tBJQY*3biqxF NU$+7fmuBJRY(3bjqyFNU$07 fmuCJ RY(4bjq yGNV$08fnuCKRZ(4cjryGOV% 08fnv CKRZ) 4c jrzGOV%18gnvDKSZ) 5ckrzHO W%18g ovDKS#) 5ckszHOW&19gowDLS#-5dksA HPW&19howDLT #-5dlsAHPX&2 9hpwELT!-6dl tAIPX* 2ahpwE MT! -6eltAIQX*2aipxEMU!+6 emtBIQ Y*3aip xFMU!+7emtBJQY*3biqxFNU$ +7fmuB JRY(3b iqyFNU$07fmuCJRY(4bjqyGN V$08fn uCKRZ( 4cjryGNV%08fnvCKRZ) 4cjrz GOV%18gnvDKS Z) 5ckrzGOW%18govDKS#) 5ck szHOW& 19gowD LS#-5dkszHPW&19howDLT#-5 dlsAH PX&29hp wELT! -6dlsAIPX&2ahpwEMT! -6eltAIQX*2a ipxEMU ! +6emtBIQX*3aipxF MU!+7em tBJQY *3biqxFNU$+7fmuBJQY(3biq yFNU$07fmuCJ RY(4bjqyGNV$08fnuCJRZ(4b jryGNV% 08fnv CKRZ) 4cjrzGOV%18gnvDKSZ) 4ckrzGOW%18g ovDKS#) 5ckszHOW&19gowDLS #) 5dkszHPW&1 9howDLT#-5dlsAHPX&29hpwE LT#-6d lsAIPX &2ahpwEMT!-6 eltAIQX*2aip xEMU!+6eltBI QX*3aipxFMU! + 7emtBJQY*3b iqxFNU$+7emu BJQY(3biqyFN U $07fmuCJRY( 4bjqyGN V$07f nuCJRZ(4bjry G NV%08fnvCKR Z) 4cjrzGOV%1 8gnvCKSZ) 4ckrzGOW%18govD KS#) 5ckszHOW &19govDLS#) 5dkszHPW&19ho wDLT#- 5dlsAH PX&29howELT#-6dlsAIPX&2a hpwEMT ! -6elt AIQX*2ahpxEMT!+6eltBIQX* 3aipxFMU! +7emtBJQY*3biq x CJRY(4bjqyG NV$08fnu CKRZ (4cjryGOV%08 f nvCKRZ) 4cjr zGOV%18g nvDK SZ) 5ckrzHOW% 18govDKS#) 5c kszHOW&19gow DLS#-5dksAHP W& 29howDLT#- 5dlsAHPX&29h pwELT!-6dltA IPX*2ahpwEMT !-6eltAIQX*2 aipxEMU! +6em tB IQY*3aipxF MU!+7emtBJQY *3biqxFNU$+7 fm uBJRY(3bjq yFNU$07fmuCJ RY(4bjqyGNV$ 08fnuCKRZ(4c jryGNV%08fnv CKRZ) 4cjrzGO V %18gnvDKSZ) 5ckrzGO W%18g ovDKS#) 5cksz H OW&19gowDLS #-5dksAH PW&1 9howDLT#-5dl sAHPX&29hpwE LT!-6dltAIPX &2ahpwEMT! -6 eltAIQX*2aip xEMU!+6emtBI QX*3aipxFMU! +7emtBJQY*3b iqxFNU$+7fmu BJRY(3biqyFN U $07fm uCJRY(4bjqyGN V$08 fnuCKRZ(4bjr yGN V%08fnvCK RZ) 4cjrzG OV% 18gnvDKSZ) 4c krzGOW%18gov DKS#) 5ckszHO W&19gowAHPX& 29h pwELT! -6dltAIPX*2ahpxEMT ! +6eltBIQX*2aipxEMU!+6em tBIQY*3aiqxF MU$+7emuBJQY*3biqxFNU$+7 fmuBJ RY(3bjq yFNV$07fnuCJRY(4bjqyGNV$ 08fnu CKRZ(4c jryGOV%08gnvCKSZ) 4cjrzGO V%18g nvDKSZ) 5ckrzHOW%19d lsAHPW&29how ELT#- 6dlsAIP X&2ahpwEMT! 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+6emtBIQ Y*3a iqxFMU!+7emt BJ QY*3biqxFN U$+7fmuB JRY( 3bjqyFNU$07f mu CJRY(4bjqy GNV$08f nuCKR Z(4cjryGNV%0 8fnvCKRZ) 4cj rzGOV%18gnvD KSZ) 5ckrzHOW % 18govDKS#) 5 ckszHOW&19go wDLS#-5dksAH PW &19howDLT# -5dlsAHP X&29 hpwELT!-6dlt A IPX&2ahpwEM T! -6eltA IQX* 2aipxEMU!+6e m tBIQY*3aipx FMU! +7em tBJQ Y*3biqxFNU$+ 7fmuBJRY(3bi qyFNU$07fmuC JRY(08gnvCKS Z) 4ckrzGOV%1 8gnvDKSZ ) 5ck rzHOW%19govD LS#) 5d kszHOW&19gowDL S#- 5dksAHPW&29h owE LT#-6dlsA IPX&29hp wELT ! -6dltAIPX*2 ah pxEMT!+6el tBIQX*2aipxE MU!+6emtBIQY *3aiqxFMU$+7 emuBJQY*3biq xFNU$+7fmuBJ RY (3bjqyFNV$ 07fnuCJRZ (4b jqyGNV$08fnu CK RZ(4cjryGO V%08gnvC KSZ) 4cjrzGOV%18g nv DKSZ) 5ckrz HOW%19govDLS #) 5ckszHOW&1 9gowDLS#-5dksAHPW&29howELT #-6dlsAHPX& 2 9h

篇五：两动一定最小值问题方老师

阅读YUE KAN WEN CUN11文 存 阅刊最近在网上看到好多胡不归系列的问题，今天我就我的理解对胡不归问题做一个浅入深出的分析。一、知识解读问题：已知如图1，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，在直线 l 上找一点 P，使得 BP+mAP（0 ＜ m ＜ 1）值最小。解析：如图2，在直线l的另一侧构造∠PAC，使得Sin∠PAC=m，作 PD ⊥ AC，则 PD=AP×Sin ∠ PAC=mAP，所以 BP+mAP=BP+PD，此时两定一动问题转化成了一定两动问题，这里给学生分析应以退为进，假定 D 为定点，由公理两点之间线段最小，当 B、P、D 三点共线时，BP+PD 最小，即最小值为 BD，然后让 D 点动起来，此时变成了一定一动点线最值问题，根据直线外一点到直线上各点的连线段中垂线段最短，所以当 BD ⊥ AC 时，垂线段 BD 就是我们要求的 BP+mAP 的最小值（如图 3）。归纳：胡不归问题构图步骤，以线上定点 A 为角的顶点，对于另一定点 B 在直线的异侧构造一锐角 α，使得 Sinα=m；过定点 B 作射线AC 的垂线段 BD，线段 BD 即为所求最值。二、知识应用例 1. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象经过点 A（- 1，0），B（0，- ），C（2，0），其对称轴与 x 轴交于点 D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则 PB+PD 的最小值为

　；分析：此题第二问是一个显性的胡不归问题，两定一动最值，一个定点 B 和动点 P 在同一直线 y 轴上，另一定点 D 在 y 轴外，所以只要以B 为顶点，在 y 轴的左侧构造锐角 α，使得 Sinα= ，此时这条射线就是 BA，过点 D 作 BA 的垂线段 DE，求出 DE 就是 PB+PD 的最小值。变式 1：如果将上诉问题（2）中的 PB+PD 改成求 PB+2PD 的最小学会思维之浅入深出——两定一动之胡不归问题何平（江苏省常州市卜弋中学 江苏 常州 213000）值呢？分析：这样一改有的学生就下不了手了，形式上感觉还是胡不归，但是 PD 的系数不符合正弦值的范围，所以我们要稍稍搞点小动作，将PB+2PD 转化为2（ PB+PD），2 为常数，所以只要求出 PB+PD 的最小值再乘以2 就是 PB+2PD 的最小值。变式 2：如果将上诉问题（2）中的 PB+PD 改成求 3PB+5PD 的最小值呢？此题留个读者自己杀了，我就不啰嗦了。例 2. 如图，△ ABC 在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2 ），C（1，0），D 为射线 AO 上一点，一动点 P 从 A出发，运动路径为 A → D → C，点P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的3 倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为（

　）分析：此题为隐性的胡不归问题，根据题意可设CD上的速度为v，则 AD 上的速度为 3v，则运动时间 t=AD3v+CDv-1v （13AD+CD），要使 t最小，只要使得 13AD+CD 最小，这就转化为我们所熟悉的胡不归模型了，而∠ BAO 的正弦值刚好就是 13 ，所以过点 C 作 AB 的垂线与 y 轴的交点就是我们要求的 D 点。同样你也可以模仿例 1 对试题进行改编，只要把速度比值适当改编就行，这题留给读者自己编自己杀。例 3. 如 图， 菱 形 ABCD 的 对 角 线 AC 上 有 一 动 点 P，BC=6，∠ ABC=150°，则线段 AP+BP+PD 的最小值为

　．分析：此题和上述例 2 不一样，感觉不像胡不归问题，因为它是三定一动最小值问题，但是我们好好观察一下你会发现 BP 和 DP 的 相 等 的， 所 以AP+BP+PD 可以转化为 AP+2BP，这样你是不是会了？你解完例 3 后会自编一题类似的问题杀一杀吗？三、教学反思我们为师者，如何引导学生解题，如何引导学生反思，如何引导学生感悟，是我们一辈子要研究的课题。我对学生的要求是解必思，思必悟，悟必编。光解不思不是解题，思完没有自己的感悟不是解题，有了感悟不会改编拓展不是解题。万方数据

篇六：两动一定最小值问题方老师

数学之友》

　2012 年第 24 期 解 索 中考“两定一动”型运动问题解题策略初探 郭艳军 ( 江苏省无锡市 江南 中学 ， 214001) 因为“ 运动” ， 数学才充满了魅力与活力． 中考 中的运动型问题主要 以几何 图形为载体 ， 运动变化 为主线 ， 集多个知识点为一体 ， 集多种思想方法为一 题． 这类题综合性强， 能力要求高， 它能全面考查学 生的实践操作能力 ， 空 间想象能力 以及分析 问题解 决问题的能力． 在饵这类题时， 要充分发挥空间想象 的能力 ， 往往不要 被“ 动” 所迷惑 。

　而是要在“ 动” 中 求“静 ” ， 化“ 动” 为“ 静 ” ， 即要 “ 以静 制动 ” ， 把动态 问题变为静态 问题来解． 结合多年的教学实践 ， 笔者 发现初中数学动点 问题 中关于“ 两 定一 动” 型 的问 题是热点题型． 所谓“ 两定一动” 即在“ 两个定点， 一 个动点 ”条件下解决一些运动问题． 在 中考复习时，

　笔者对此类问题进行 了梳理 ， 现归类整理如下 ：

　1

　直角三角形中“ 两定一动’’ 型问题 基本问题 ：

　已知线段 AB， 在平面内取一点 P ， 使 得A PAB 为直角三角形．

　基本原理 ：

　( 1) 如果 AB 为斜边 ， 则点 P 一定在 以 AB 为直 径的圆上( 如图 1)．

　1P

　图 1

　图 2 ( 2) 如图 AB 为直角边 ， 且 A 为直角 ， 则点 P 定在过 A 作 AB 的垂线上( 如图 2) ．

　( 3) 如 果 AB 为直 角 边 ， 且 曰为直 角， 则点 P 一定在 过 B ft：

　． 一 1B 的垂线上( 如图 3) ．

　小结：

　在直角三角形中， 因直角 位 的不确定性需要分类讨论， 但 如果三点 中有两个点为定点 ， 则第 三个点可以利用基本原理先确定位置再进行求解．

　例 1

　( 2008 山 东潍坊) 如图 4 ， o 曰切 Y 轴于 一·74 · 原点 O， 过定 点 A ( 一2 0) 作 0 B 切线交 圆于点 P．

　，

　／ 5- 已知 tan／ _ PAB = ， 抛物线 J C 经过 A ， P 两点．

　( 1) 求o B 的半径；

　(2) 若抛物线 C 经过点 B， 求其解析式 ；

　( 3) 设抛物线 C 交 Y 轴于点 角三角形 ， 求点 分析与解 ：

　，

　V

　M ‘ ／ 。

　D 、 ＼ 、

　A 图 4 ， 若 A APM 为直 的坐标．

　厅

　( 1) 由 tan 怛 = ， 易知 PAB =30。

　．

　J

　连结 即 ， 则 A 设半径为 r， 列方程可求得半径为2 = 90。

　． 所 以AB =2PB．

　． 1 ．

　( 2) Y = 一

　+4．

　J ( 3) 很多学生都知道 △ A 分类， 但是都无法找全所有的点 两定点 ， 如果运用基本原理 ， 则可 以采用先画图 ， 再 分类 ， 后计算 的解题策略 ， 而且不遗漏．

　① 过点 A 作 AP 的垂线 ， 交Y 轴于．

　M1( 如图5)．

　成为直角三角形要 ， 考虑到A ， P 是 J 、 )，

　／ 。＼

　肘 ／ P

　l ，

　M 2 ／ 。D

　A

　图 5 图 6 ② 过点P 作AP 的垂线， 交Y 轴于点M2(如图6)．

　③ 作以 AP 为直径的圆 交 Y 轴于点 鸭 ， 』 l ( 如图 7)．

　解答：

　显然 P 的坐标为 ( ， 3) ， 由①得 M， (0， 一 6) ；

　由② 得 ：

　( 0， 6) ； 对于③ 可 结合具体图形具体分析， 此时 ／ _ AM3P = 90。

　， 可 以作 P 上，

　轴 寸

　H ， 构造 A PHM3

　M

　y (／

　A＼ ／

　』

　i 阁 7

　《 数学之友》

　2012 年筇 24 △

　3 ．

　设 ( O， 1 1 " I ,) ， 则 朋 = ，

　鸭 = m 一 3， AO =2 ，

　=m．

　·．‘A PHM3"~ A M30A ， ． ． ．

　= ．

　．．．,一3-m

　：

　．．． m 一3 m ：6 ．

　2 ,／ 3 解得 m。

　：

　， m ：

　( 舍去 ) ．

　对于 眠 同理可得 m ：

　，

　所以把刚才舍去的解捡回．

　综上所述 ，

　的坐标为 M， ( 0， 一6) ，

　M 3 (0 ， )， 眠 (0，点评：

　本题 A AMP 中有两个定点 ， 如何寻找 第

　三个点 ， 使其成为直角三角形对 学生而言， 综合性较 强， 难度较大， 但如果 用基本原理求解， 即可快速找 到 ， 问题也迎刃而解．

　( 0， 6) ，

　 )． 2等腰三角形中“ 两定一动” 型问题 基本问题 ：

　已知线段 A PAB 为等腰三角形．

　基本原理 ：

　( 1) 如果 A 为底 ， 则点 P 一定在 A 的垂直平 分线上( 如图 8) ．

　／

　‘＼

　， 在平面内取一点 P ， 使 A P

　圈 8 图 9 (2) 如果 AB 为腰 ， 且 在以点 ／ l 为圆心， AB 长为半径的圆上( 如图9) ，

　(3) 如果 LiB 为腰 ， 且 ／ B 为 顶角， 则点 P 一定在以点 心， AB 长 为半径 的圆 上 ( 如 图 Io)．

　小结 ：

　在等腰三角形中 ， 因 腰和底不确定需要分类讨论．

　在讨论时如果等腰三角形的三个顶点中两个顶点是 定点， 可以用基本原理精确找到， 然后求解 ， 情况不 会遗漏．

　A 为顶角 ， 则点 P 一定 为圆 图10

　例 2 ( 2012 四川 乐 山) 如图， 在平面直角坐标 系中， 点 A 的坐 标为 ( in，

　m) ， 点 的坐标为 ( n，一

　聘 ) ， 抛物线经过 A ， D，

　点 ， 连接 O A ， OB ， AB ， 线段 AB 交 Y 轴于点 e 已知实 数 m， n( m < n) 分别是方程 ( 1) 求抛物线的解析式 ；

　(2) 若点 P 为线段 OB 上 的一个动点 ( 不 与点 0 ， B 重合) ， 直线 PC 与抛物线交于 D ，

　在 Y 轴右侧 ) ， 连接 OD ， BD．

　① 当△ OPC 为等腰三角形时， 求点P 的坐标；② 求ABOD 面积的最大值， 并写出此时点 D 的坐标．

　分析与解 ：

　( 1) 解方程 得 1=3，

　2= 一1．

　三 J

　D 图 11

　一 2x 一 3 =0 的两根．

　两点( 点 D

　一 2x 一 3 =O，

　．。

　m<n， ． ’． rn= 一l ， n =3． ． ‘． A( ～1， 一1) ， B(3， - 3)．

　‘．‘抛物线过原点 ，

　设抛物线 的解析式为 Y = ax。+ -1 一 ,3 ． 解 得 {二

　。．

　．

　【 1 ．·．{9 a 口 -+ b 3 = 6 ：-T" 一。

　‘ ．·．抛物线的解析式为 Y = 一

　+ ．

　( 2) ① 可运 用几何法． 由于点 P 在 OB 上， 且 0 ， C 为两定点， 可以考虑先画图， 再分类 ， 后计算 的 解决策略．

　( i ) 作 OC 的垂直平分线交 OB 于点 P ， 连结 P， C ( 如图 12) ．

　D

　E ＼ ， ‘ C ／ ＼ i y

　、

　c

　图 12 图 13 ( ii ) 以 0 为圆心 ， OC 长为半径画圆， 交 OB 于 点 P ， 连结 c， 】

　( 如图 l3) ．

　( iii ) 以 C 为 圆心 ， CO 长为半径 画圆， 交 OB 于点 P ( 如图 14) ．

　显然 由( i ) 得 ， P 0 ：

　P C； 由 ( ii ) 得 ， OC ：OP2；

　_

　O

　／

　( c 二= = =

　·75 ·

　《 数学之友) 2012 年第24 期 由( iii ) 得， CO = CP ． 接着 ， 司结合 图形 ， 分类讨论 再求出尸点坐标， 此时要注意具体问题具体分析 解 答 ：

　可 求 直 线 A B的 解 析 式 为 y：

　一

　(o ， 一 吾 )．一 寻 ． ．·．cA~ ‘．‘直线 OB 过点 o( o， 0) ， B( 3， 一 3) ，

　．·． 直线 OB 的解析式为 Y= 一

　．

　·．。点 P 在线段 OB 上， ． 。

　． 可设 P(p ， 一 p)．( i ) 当 P 0 =P。

　c 时，

　 ·．。P E 垂直平分 OC， Pl0 = P1c ，OE = IOC= ’ ．3 ．·．．·．P

　(÷， 一 手 )．

　( ii ) 当OP2=OC 时， OP2=OC=÷ ，

　。

　=学 一学(舍 去 )． ( iii ) 当 CO = CP3时 ，

　COB =45。

　．

　．· =丢． ．·．P ：

　(学， 一

　)．·．

　B ( 3， 一 3) " ． ． ．

　’．。CO = CP 3 ， ． ‘ ．／ __ COP 3 = CP 30 = 45 。

　．

　 ．·．Z ． O C P 3=9 0。

　． ． ． ． O C=cP 3=丢 ．．·．P ， (寻 ， 一 寻 )．

　② 过点 D 作 DG上

　轴 ， 垂足为 G， 交 OB 于 Q，

　过 B 作 BH 上

　轴 ， 垂足为 H 设 Q ( ， 一

　D (戈 ， 一

　1

　2+

　)．S BoD= S zxoDQ+ s B DQ

　 ：

　Q ． OG +—

　Q ． GH

　=一手 ( 一 吾 ) +

　．=3 ~, -t·．， O< < 3， ． ·． 当 ，

　J s取 得 最 大 值 为

　， Jk [ S l ~D (3

　， 一 i3)．

　点评 ：

　纵观 中考数学等腰三角形的存在性 问题 ，

　“ 两定一动” 型考查得较 多， 此类题 目多涉及 到运用 勾股定理 ， 因此对学生而言 ， 综合性较强 ， 难度较大，

　很多同学对于符合条件的动点难以找全， 从 而失分，

　如果能抓住基本图形 ， 用基本原理寻找 ， 则会大大增 强他 们 的 解题 信 心．

　·76 · 3轴对称性求最值中“ 两定一动型” 问题 基本问题 ：

　如图 l5， 已知两点 A ， B 及直线 e； 在 2

　上寻找一点 P ， 使AP +朋 最小．

　基 本 原 理 ：

　作 A ( 或 B) 关于直线 Z的对称点 A ( 或 B ) ， 连 结 A B ( 或 AB ) 与直 c 的交点即为点 P．

　小结：

　在利用轴对称性求最值问题中“ 两定一 动” 型出现的频率很高， 学生只要善于发掘条件， 抽 象出基本图形 ， 解决问题便会得 f l,应手 ， 游刃有余．

　例 3 (2011 贵 州安 图 l5 1 顺 ) 如图 16 ， 抛物线 Y =—

　厶

　+ 点 ， 与 Y 轴 交 于 C 点 ， 且 A ( 一1， 0) ．

　( 1) 求抛物线 的解析式 及顶点 D 的坐标 ；

　(2)判断A ABC 的形状， 证明你的结论；(3) 点 (m， 0)是 轴上的一个动点， 当 CM + DM 的值最小时， 求 m的值．分析与解 ：

　(1)‘． ’ 点A( 一 1， o)在抛物线Y=÷

　+ 一 2上，

　一 2 与 x 轴交于 A ， B 两 J y |

　_

　1 ． ’／ 。G

　‘＼

　|

　 D

　图 16

　 ．·．

　点代人， 解得 6 = 一 一．3 。·． 抛 物 豉 的 解 析 式 为y：

　z一

　一 2． Y：

　一

　一

　一 2：

　专 ( 2— 3

　一 4) L

　叫

　=丢 ( 一 丢 ) 一 等 ．

　．·．顶 点 D的 坐 标 为 (寻 ， 一 警 )．( 2) 当 =0 时 ， Y = 一 2 ， ．

　． c (o ， 一 2) ， 0C =2．

　当 ， ， ：

　0 时 ，

　：

　一

　3 —2 ：0．

　．-．

　I = 一1，

　2=4． ． ‘． B (4 ， 0) ．

　．·． OA ：1 ， OB = 4 ， A B = 5 ·．‘AB

　25 ， AC = OA + OC = 5 ，

　B C = OC + OB = 20 ．

　．·．AC 。+ BC

　= AB - ． _．A ABC 是直角三角形．

　是两个定点 ， M 是 ( 3) 考虑到 c ，

　个 动 点 ， 可 以利用基 本 图形 寻找 点 轴上 的一

　《 数学之友》

　2012 年第 24 期 解答：

　如图 l7， 作出点 c 关于 轴的对称点 c ，

　则 C (0， 2) ， OC 2， 连接 c D 交 轴对称性及两点之间线段最短可知 MC + MD 的值．

　解法一：

　设抛物线 的对 称轴交 轴于点 E

　轴于点 ， 根据 ·．‘ED／ ／ y 轴，

　o C

　M ：

　．

　E D M ．

　C Fo M = 乙D E M ．

　．’． △ C ’ o M DE M．

　．

　一 ’ 。E M ‘—E D ‘ Y

　r

　^ l W

　E

　／

　、A

　毯

　 图 17 ·‘ 一 一‘·m

　开 一m

　解法二 ：

　设直线 C D 的解析式为 Y = 则 f 3

　一2 — 5解

　则 {

　【

　¨凡

　一

　 + n，

　2 ， k：

　一

　．解 得 凡 =， =一

　．．’

　一参+2 ．．·．当 )， =o 时， 一

　+ 2 - 0，

　24．·．m=

　．

　P )

　点评 ：

　利用轴对称性能很好 的解决线段 的最值 问题 ， 特别是“ 两定一动” 型求线段 和的最值在各种 问题 中 反复出现， 如果学生能在复杂图形中识别出

　“ 两定一动型” 求线段和的最值的基本 图形， 这类问

　题可以手到擒来．

　动点问题是中考热点 ， 解决这一类题 ， 关键是要 把动态问题转化为静态 问题来解决 ， 要把寻找运动 中的不变量作为解决问题的突破口， “ 两定一动” 型 问题中两个定点是运动 中的不变量 ， 学生要善于捕 捉基本 图形 ， 重视基础知识和基本技能的培养训练 ，

　这样符合题意的动点可 以快速而又不遗漏的找到，

　大大提高解题的正确率．

　参考文献 ：

　[ 1] 学之友 ， 2012， (20) ．

　[ 2] 状分析与建议[ J ] ． 数学教 育学报 ， 20 3 2， 21( 4) ：

　60 陈文． 跌宕的习题进行的能力[ J ] ． 数 张琥． 新课标高 中数学教材 习题教学 现 —63 ．

　[3] 宁连华． 数学探究学习论[ M] ． 北京：

　高 等教育出版社 ， 2008．

　( 上接 第 73 页) 而在图 2 中， 以点 F 为坐标原点 ， 以过点 F ， Z的 垂线 为 轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系， 同 理 可 得 J x +Y = l 一( 一 p) l ， 化简后得到 P 点的轨迹方 程为 Y =2 +P ．

　其实这两种不同的建系方式得到的也是抛物线 的方程 ， 但对比一下两者的形式 ， 它们有极其相似 的 特征 ， 区别仅仅在表达式的常数项上． 那么两者又为 什么会有这区别? 建系方式不 同所致． 所 以我们可 以思考一下 ， 能不能通过调整建立坐标系的方式 ， 得 到一个形式更为“ 完美” 的抛物线的方程? 通过这样 的提问和思考，

　学生 自然而然就想到图 2 的建 系方式：

　以过点 F ， f 的垂线为 轴 ， 以 F 到 2的垂线段 的中点 为原点， 建立平面直角坐标系，

　——■

　一 则 动 点P满 足 √(

　一 等) +y2

　F

　D

　(争1 0)

　1 2_

　图 3 =l 一 ( 一 等l I， 化简后得到了P 点的 轨迹为y2= J 、

　， I 2px． 事实验证了 ：

　在这样 的建系方式下 ， 抛物线的方 程形式上更 为 “ 完美 ” 了． 这样就顺 利解决 了问题 ( 2) ， 把学习中探索和发现 问题的主动权交给学生 ，

　让学生在 实践的过程 中体会数学 的合理 性和简洁 美． 多一点尝试、 多一点思考 ， 数学就会变得更加有 趣、 生动了．

　参考文献 ：

　[ 1] 之友 ， 2012， ( 8) ．

　[2] 的调查研究 [J ]． 数学教育学报， 2010， 19 ( 5) ：

　71

　72 ．

　盛邦南． 解题反思 的意外生成 [ J ] ． 数学 徐彦辉． 高中生数学理解性学习内隐观 —[3] 宁连华． 数学决策及其教学研究[J ]． 数 学教育学报 ， 2009， l8( 6) ：

　32 — 35．

　·77 ·

篇七：两动一定最小值问题方老师

∠PHO ＝135°为定角，但其所对的边 OP 并非定弦 ，连 I D，易证△ PIO≌ △ OID，所以∠OID ＝∠PIO＝135°，且其所对的边为 OD，符合定弦定角条件，故 I 点轨迹为圆弧，问题易解.解 如图7 －1，连结 PI，OI，HI，DI.因为点 I 为 △ OPH 的内心，所以 △ PIO≌ △ OID.因为 PH⊥OD 于点 H，所以∠ PIO ＝90°＋ 12∠PHO ＝135°.所以∠OID ＝∠PIO ＝135°.又因为 OD ＝6， 所以 I 点在 △ OID 的外接圆上运动，作出 △ OID 的外接圆⊙O′，连结 O′O，O′D.所以∠OO′D ＝135°，O′O ＝3 2.所以 I 点运动路径长为90360×2π×3 2 ＝3 2π2.说明 此题较难的地方在于难以发现∠OID ＝135°这个定角，并且注意点 I 的运动轨迹是一段圆弧，而非整个圆.从这两类问题的研究中还可以发现一点：若无其它限制，主动点运动路径是圆弧， 从动点的运动路径也应是圆弧，并且从动点与主动点圆心角应该是相等的.面对着一个比较综合、有一定难度的数学问题，怎样才能引导学生迅速地找到其突破口，打开学生的解题思路呢？ 俗话说妙计可以打胜仗，良策则有利于解题，当学生对数学知识，数学思想方法的学习和运用达到一定水平时，应该把一般的思维升华到计策谋略的境界.只有掌握了一定的解题策略，才会在遇到问题时，找到问题的思考点和突破口，迅速、正确地解题.因此，在教学中要适当加强数学解题策略的指导，优化学生的思维品质，提高解题能力.由朱华伟，钱展望所著《数学解题策略》一书中谈到：“把学数学比作吃核桃，核桃仁美味而富有营养，但要砸开才能吃到它.数学教育要研究的，是如何砸核桃吃核桃 .教育数学呢，则要研究改良核桃的品种，让核桃更美味，更营养，更容易砸开吃净 .” 在实际的教学过程中我们发现许多问题，虽然属于不同的知识內容，但它们在方法策略上有相同或类似之处 .从解题的角度来看，顺利解决一道数学问题除了必须具备扎实的学科知识基础，更重要的是要有灵活的方法策略.我们在解题的时候常常碰到这样的情况：在百思不解的时候，经过解题高手一点拔，我们的思路豁然开朗，闪电一般解决了问题 .这说明我们并不是不熟悉问题涉及的知识內容，而是我们的方法策略不对，因此需要我们做教师的在平时的教学过程中多研究一些解题策略.参考文献：［1］徐宏.涉圆最值问题归类解析［J］.中学数学教学，2017（1）：38 －40.［2］朱华伟，钱展望著.数学解题策略［M］.北京：科学出版社，2009.例谈如何求 “一定两动型 ”折线段长的最小值江苏省淮安市淮阴区开明中学 223300

　马先龙

　摘 要：“一个定点、两个动点”型折线段长的最小值问题一直是全国各地中考命题的热点.此类问题因难度较大，常常让答题者望而生畏.实际解题时，若能灵活地运用轴对称法，通过等线段代换，化“同”为“异”、化“折”为“垂”、化“折”为“定点与曲线上最近点连线”，则可化难为易，顺利解题.关键词：折线段；轴对称；化同为异；化折为垂作者简介：马先龙（1966 －），男，江苏淮阴人，本科，中学高级教师，江苏省淮安市骨干教师，研究方向：中学数学教学.

　轴对称法［1］是解折线段长最小值问题行之有效 的方法.那么，实际解题时，如何灵活运用这种方法求· 8 2 · 理科考试研究· 数学版

　2018 年 10 月10 日 万方数据

　“一个定点、两个动点”型折线段长的最小值呢？一、构造轴对称点，化同为异，化折为垂例1 （2018 湖北十堰市中考）如图 1，Rt △ ABC中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝6 2，点 D、E 分别是边BC、AC 上的动点，则 DA ＋DE 的最小值为 .分析 如图 1，求 DA ＋DE 的最小值就是求折线段 AD—DE 长的最小值.作点 A 关于直线 BC 的对称点 A′，连接 DA′，则 AD ＝A′D.所以 DA ＋DE ＝A′D ＋DE.因 A′是定点，故过点 A′作 A′M⊥AC 于点 M，根据“垂线段最短”，知垂线段 A′M 的长就是折线段 A′D—DE 亦即折线段 AD—DE 长的最小值，求出 A′M 的长即可.解 如图1，作点 A 关于直线 BC 的对称点 A′，连接 DA′，则 DA ＝A′D.所以 DA ＋DE ＝A′D ＋DE.因 A′是定点，故过点 A′作 A′M⊥AC 于点 M，根据“垂线段最短”，知垂线段 A′M 的长就是 DA ＋DE 的最小值.在 Rt △ ABC 中，因为∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝6 2，所以 BC ＝ 32＋（6 2）2＝9.所以边 BC 上的高为 3 ×6 29＝2 2.所以 AA′＝4 2.因为∠A′AM ＋∠BAA′＝90°，∠ABC ＋∠BAA′＝90°，所以∠A′AM ＝∠ABC.在 Rt △ A′AM 中，sin∠A′AM ＝A′MAA′.在 Rt △ ABC 中，sin∠ABC ＝ACBC .所以 A′MAA′＝ACBC .所以 A′M4 2＝6 29，解得 A′M ＝163.所以 DA ＋DE 的最小值为 163.点评 本题的折线段属“一定两动”型，其中，两个动点都在线段上运动.通过构造点 A 关于直线 BC的对称点 A′，连接 DA′，得到 DA ＝A′D，达到了化直线BC 的同侧线段 AD、DE 为直线 BC 的异侧线段 A′D、DE，即化同为异的目的；通过构造 A′M⊥AC，知垂线段 A′M 的长即为折线段 AD—DE 长的最小值，从而达到了化折为垂，化难为易的目的.二、构造轴对称点，化同为异，化折为“定点与曲线上最近点连线”例2 （2018 黑龙江龙东地区中考）如图 2，已知正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AB 边上一动点，连接 CE，过点 B 作 BG⊥CE 于点 G，点 P 是 AB 边上另一动点，则 PD ＋PG 的最小值为 .分析 如图 2，求 PD ＋PG 的最小值就是求折线段 DP—PG 长的最小值.作点 D 关于直线 AB 的对称点 D′，连接 D′P，则 PD ＝D′P.所以 PD ＋PG ＝D′P ＋PG.设 BC 的中点为 O，以点 O 为圆心，BC 为直径作⊙O，过点 O 作 OM⊥AD 于点 M，设 OM 与⊙O 相交于点 N，由题意，易知点 G 在⊙O 的BN上运动，连接D′O，设 D′O 与⊙O 相交于点 H，根据“一点与圆上各点连线中，该点到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最近”，知 D′H 的长就是折线段 D′P—PG 亦即折线段 DP—PG 长的最小值，求出 D′H 的长即可.解 如图 2，作点 D 关于直线 AB 的对称点 D′，连接 D′P，则 PD ＝D′P.所以 PD ＋PG ＝D′P ＋PG.设 BC 的中点为 O，以点 O 为圆心，BC 为直径作⊙O，过点 O 作 OM⊥AD 于点 M，设 OM 与⊙O 相交于点 N.由题意，易知点 G 在⊙O 的BN上运动，连接D′O，设 D′O 与⊙O 相交于点 H，则线段 D′H 的长就是 D′P· 9 2 ·

　2018 年10 月10 日

　理科考试研究· 数学版万方数据

　＋PG 的最小值，也就是 PD ＋PG 的最小值.在 Rt △ D′OM 中，因为∠D′MO ＝90°，OM ＝AB ＝4，D′M ＝4 ＋2 ＝6，所以 D′O ＝ 62＋42＝2 13.所以 D′H ＝D′O －OH ＝2 13 －2.所以 PD ＋PG 的最小值为2 13 －2.点评 本题的折线段属“一定两动”型，其中，一个动点在线段上运动，另一个动点在圆弧上运动.通过构造点D 关于直线AB 的对称点 D′，连接D′P，得到PD ＝D′P，达到了化直线 AB 的同侧线段 PD、PG 为直线 AB 的异侧线段 D′P、PG，即化同为异的目的；通过构造⊙O，连接 D′O 与⊙O 相交于点 H，知线段 D′H 的长即为折线段 DP—PG 长的最小值，从而达到了化折为“定点与圆上最近点连线”，化难为易的目的.例3 如图 3，已知正方形 ABCD 的边长是 4，动点 E 从点 A 出发沿边 AB 向点 B 运动，同时，动点 F从点 B 出发沿边 BC 向点 C 运动，点 E、F 运动的速度相同，当它们到各自终点时停止运动.设运动过程中AF 与 DE 相交于点 M，P 是边 CD 上任意一点，则 PB＋PM 的最小值为 .分析 如图3，求 PB ＋PM 的最小值就是求折线段 BP—PM 长的最小值.作点 B 关于直线 CD 的对称点 B′，连接 B′P，则 PB ＝B′P.所以 PB ＋PM ＝B′P ＋PM，连接 B′M，则 B′P ＋PM ＞B′M.如图4，设 AD 的中点为 O，以点 O 为圆心，AD 为直径作⊙O，则⊙O 必经过正方形 ABCD 的中心 G，由题意，易知点 M 在⊙O的AG上运动，当点 E 运动到点 B，点 F 运动到 C 时，点M 运动到点 G，此时，B′M 的长最小，故 B′G 的长就是折线段 B′P—PM 亦即折线段 BP—PM 长的最小值，求出 B′G 的长即可.解 如图3，作点 B 关于直线 CD 的对称点 B′，连接 B′P，则 PB ＝B′P.

　所以 PB ＋PM ＋B′P ＋PM.连接 B′M，则 B′P ＋PM ＞B′M.如图4，设 AD 的中点为 O，以点 O 为圆心，AD 为直径作⊙O，则⊙O 必经过正方形 ABCD 的中心 G.由题意，知 AE ＝BF.又因∠DAE ＝∠ABF，AD ＝AB，所以 △ DAE≌ △ ABF（SAS）.所以∠ADE ＝∠BAF.所以∠ADE ＋∠DAM ＝∠BAF ＋∠DAM ＝90°.所以∠AMD ＝90°.所以点 M 在⊙O 的AB上运动，当点 M 运动到点G，B′M 的长最小，故 B′G 的长就是 PB ＋PM 的最小值.过点 G 作 GN⊥BC 于点 N，在 Rt △ B′GN 中，∠B′NG ＝90°，B′N ＝4 ＋2 ＝6，GN ＝ 12AB ＝2.由勾股定理，得 B′G ＝ B′N2＋GN2＝ 62＋22＝2 10，所以 PB ＋PM 的最小值为 2 10.点评 本题的折线段属“一定两动”型，其中，一个动点在线段上运动，另一个动点在圆弧上运动.通过构造点 B 关于直线 CD 的对称点 B′，连接 B′P，得到PB ＝B′P，达到了化直线 CD 的同侧线段 PB、PM 为直线 CD 的异侧线段 B′P、PM，即化同为异的目的；通过构造⊙O，知⊙O 必经过正方形 ABCD 的中心 G，且点M 在⊙O 的AG上运动，连接 B′G，知线段 B′G 的长即为折线段 BP—PM 长的最小值，从而达到了化折为“定点与圆弧上最近点连线”，化难为易的目的.综上，用轴对称法求“一定两动”型折线段长的最小值，当两个动点都在线段上运动时，采用构造轴对称点，化同为异，化折为垂的方法求解；当两个动点一个在线段上运动，另一个在曲线上运动时，采用构造轴对称点，化同为异，化折为“定点与曲线上最近点连线”的方法求解.“模式只是提供了一种相对稳定的样本，遇到一个新的问题时，还需要转化或分解问题，创新出更多的模式［2］”.更多的运用，留给读者.参考文献：［1］ 马先龙 .因题而异 按需取法［J］.中学数学杂志，2015（2）：58 - 60.［2］ 罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2001.· 0 3 · 理科考试研究· 数学版

　2018 年 10 月10 日 万方数据

篇八：两动一定最小值问题方老师

元二次方程的应用——三角形中的双动点问题》教案 包铁五中

　 芦静 教学目标：

　1、掌握列一元二次方程解决双动点问题的一般步骤 2、会分析解动点问题的基本解题思路 教学重点：

　列方程解决双动点问题 教学难点：

　以静制动的解题思路 教学过程：

　一、自主解决，小组探究：

　5 分钟的时间完成第一题的所有问题，组内统一答案，遇到问题可以询问老师或同学，总结基本解题步骤。

　1.（与面积有关）如图，∠ABC=90°，AB=10cm，BC=8cm，一直蝉从 C 点沿 CB 方向以每秒 1cm 的速度爬行,蝉开始爬行的同时，一直螳螂由 A 点沿 AB 方向以每秒 2cm 的速度爬行，当螳螂和蝉爬行 x 秒后，它们分别到达了 M,N 的位置，此时，△MNB 的面积恰好为 24 平方厘米，由题意可列方程：（

　 ）

　A

　2x•x=24 B

　 （10-2x）（8-x）=24 C

　 （10-x）（8-2x）=24 D

　(10-2x)（8-x）=48

　请自我思考后回答：

　1.蝉的运动方向

　,运动速度

　2.螳螂的运动方向

　,运动速度

　3.蝉的运动路程是线段

　，用 x 表示为

　4.螳螂的运动路程是线段

　 ，用 x 表示为

　 5.用 x 表示 BN 为

　 ，用 x 表示 BM 为

　 6.等量关系是

　 7.方程列为

　二、题型变式，寻找突破：

　5 分钟的时间完成第二题，组内统一答案，探究第一题与第二题的不同之处，探讨解决双动点问题的基本解题步骤。

　2.（与距离有关）如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，动点 P 从点 C 出发,沿 CA 方向运动，速度是 2cm/s;动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 方向运动，速度是 1cm/s。几秒后 P，Q 两点相距 25cm？ 请自我思考后回答：

　1.P 的运动方向

　,运动速度

　2.Q 的运动方向

　,运动速度

　若设 x 秒后 P、Q 两点相距 25cm 3.P 的运动路程是线段

　，用 x 表示为

　 4.Q 的运动路程是线段

　, 用 x 表示为

　 5.用 x 表示 CQ 为

　 6.等量关系是

　 7.完整的写出解题步骤：

　三、能力提升，分类讨论 8 分钟解决第三题，组内讨论结果，交换不同意见，选代表进行全班讲解，并讨论解题思路与解题步骤。

　3、（与分类有关）如图，一根木棍 OE 垂直平分柱子 AB，AB=200cm，OE=260cm， 一只小猫 C 由柱子低端 A 点以 2cm/s 的速度向顶端 B 爬行，同时另一只小猫 D 由 O 点以 3cm/s 的速度沿木棍OE 爬行。问：是否在这样的时刻，使两只小猫与 O 点组成的三角形面积是 1800 平方厘米？ （只需要设出未知数，列出方程即可）

　四、综合训练 4、（综合训练）如图，在△ABC 中，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，点 P 从 A 出发，以 1cm/s 的速度向 B点移动，点 Q 从 B 点出发，以 2cm/s 的速度向 C 点移动。如果 P、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于 4 平方厘米？

　五、总结归纳：

　1、以静制动的基本解题思路。

　2、常见的等量关系，包括勾股定理、三角形的面积等。

　3、注意分类讨论的思想。

　六、课后作业 第三题完成的解题步骤书写在卷面上。

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